#|--------|# #|Contents|# #|--------|# This file contains a Curtis table for the mod 2 lambda algebra, complete through degree 73, thus with full stem information ending after stem 48 or so. There isn't any new data here; I made this file as I was trying to understand some aspects of the lambda algebra. A brief exposition of this story precedes the table. #|------------------|# #|The lambda algebra|# #|------------------|# The lambda algebra Lambda is a certain differential graded algebra modeling the cobar complex for the Steenrod algebra. In particular, its homology recovers the cohomology of the Steenrod algebra, together with various pieces of higher structure, like Massey products. Explicitly, Lambda is the differential graded algebra over F2 given by 1) Generators: lambda_n for n >= 0; 2) Relations: lambda_s lambda_(2s+r+1) = Sum_i (r-1-i, i) lambda_(r+s-i) lambda_(2s+i+1) for r >= 0. 3) Differential: d(lambda_n) = [lambda_(-1), lambda_n] = Sum_r (n-r, r) lambda_(n-r) lambda_(r-1). Here (n, m) = (n choose m). I'll abbreviate lambda_r1 ... lambda_rn as #(r1 ... rn). So Lambda has an admissible basis of #(r1 ... rn) such that 2ri >= r(i+1) for each i. #|-----------------------------------|# #|The algebraic EHP spectral sequence|# #|-----------------------------------|# Because Lambda models the cobar complex of the Steenrod algebra, it gives an explicit E_1 page for the classic Adams spectral sequence: E_1^(s,l) = (H_l Lambda)_(s+l) => pi_s, d_r : E_r^(s,l) -> E_r^(s-1,l+r). Here, pi_s is the s-stem of the stable homotopy groups of spheres, and the grading is such that #(r1 ... rn) is trying to say something about pi_s when s = r1 + ... + rn. In fact Lambda gives unstable data as well. If we let Lambda(u) be the subspace of Lambda spanned by those admissible #(r1 ... rn) such that r1 < u, then Lambda(u) is a subcomplex giving an E_1 page for the unstable Adams spectral sequence for S^u: E_s^(s,l) = (H_l Lambda(u))_(s+l) => pi_s S^u, d_r : E_r^(s,l) -> E_r^(s-1,l+r). The way I like to think of this is that ``the unstable Steenrod algebra'' is itself Koszul with respect to the length filtration, and these Lambda(u)'s are the resulting Koszul complexes. In any case, there is a filtration Lambda = colim_u Lambda(u), and it turns out that the layers fit into short exact sequences 0 -> Lambda(u) -> Lambda(u+1) -h-> Lambda(2u+1) -> 0, where h is defined on the admissible basis by h(#(u r1 ... rn)) = #(r1 ... rn), else h(#(r1 ... rn)) = 0. This gives rise to a spectral sequence, the algebraic EHP spectral sequence, computing the homology of various Lambda(u)'s in terms of the homology of other Lambda(u)'s, and the degrees work out to make this not circular. Because we have the explicit complexes Lambda(u), we have more structure than just an abstract spectral sequence. Namely, we also have an effective method for computing differentials in the spectral sequence. One way of nicely packaging this is with the Curtis table, which is produced via a system of tags. #|---------------------------|# #|Tags and spectral sequences|# #|---------------------------|# A system of tags can be viewed as something of a constructive analogue of the spectral sequence of a filtered complex. Suppose given a chain complex C of F2 vector spaces (so I can ignore all coefficients): ... -d-> C_(n-1) -d-> C_n -d-> C_(n+1) -d-> ... . Suppose that each C_n is given an ordered basis, and reserve the letters x, y, and z for these basis elements. Suppose for that C is graded in such a way as to be locally finite. Now define a relation on the basis elements of C by y <- x if x is minimal for which d(x + <) = y + < . This is pronounced ``x tags y''. The (full) Curtis table for C is then defined to be a listing of all tags y <- x (and of all untagged z). The relevance of this relation is the following: 1) If x does not tag anything, then there is a cycle of the form x + <; 2) A basis for the homology of C is given by those cycles of the form x + < such that x is untagged. So the homology of C can be read off its Curtis table as in correspondence with the untagged basis elements. One of the uses of the tags themselves is the following. Suppose that we have a filtration C = colim_u C[<= u], and form short exact sequences 0 -> C[<= u-1] -> C[<= u] -> C[u] -> 0. Then there arises a spectral sequence E^1_(u,v) = H_v C[u] => H_v C, d^r : E^r_(u,v) -> E^r_(u-r,v+1). Assume the following compatibilities: 1) C[<= u] is spanned by some subbasis of our given basis for C; 2) If x in C[u] and y in C[u+1], then x < y. Here, remember that x and y are basis elements, so ``x in C[u]'' really means that x is a basis element for C that lives in C[<= u] and not in C[<= u-1]. The observation is that under these assumptions, we can also form Curtis tables for any of the chain complexes C[u,r] = Coker(C[<= u-r-1] -> C[<= u]), -infinity <= r <= infinity, and these are all compatible with each other, and determine the differentials in the above spectral sequence. Explicitly: 1) C[u,r] has as untagged elements those x in C[u,r] such that either: i) x is not tagged in the Curtis table for C; ii) There is a tag y <- x in the Curtis table for C with y in C[< u-r]; iii) There is a tag x <- z in the Curtis table for C with z not in C[<= u]. 2) C[u,r] has as tags those tags y <- x in the Curtis table for C such that x, y in C[u,r]. 3) d^r differentials in the above spectral sequence are in correspondence with tags y <- x such that y in C[u-r] and x in C[u], i.e. tags in the Curtis table of C[u,r] not present in the Curtis table of C[u,r-1]. Generally, to make use of the above spectral sequence, you want to choose your filtration in such a way that you can say something about the homology of the C[u]'s. It's the same story with tags: you want to be able to identify the Curtis table for C[u] in terms of the Curtis table for something else that you're computing. As a basic example, suppose that C is a chain complex of free modules over a graded polynomial ring F2[t], and that the differential is F2[t]-linear. Then one can obtain a t-Bockstein spectral sequence of the form H_v C/(t)[t] => H_v C by using the filtration ... -> t^2 C -> t C -> C. Suppose that C has an ordered F2[t]-basis x, y, ..., and order the resulting F2 basis by x t^n < y t^m if n > m, or else n = m and x < y. Then: 1) Tags y <- x with neither x nor y divisible by t correspond to tags for C/(t); 2) There is a tag y t^n <- x t^m if and only if there is a tag y t^(n+k) <- x t^(m+k); 3) Tags y t^n <- x t^m with n > m are in correspondence with t-Bockstein differentials. In particular, the full Curtis table for C is determined by the subset of tags of the form y t^n <- x with x not divisible by t; all the other tags are obtained from these by multiplication by t. So we might define the (abbreviated) Curtis table of C to be the collection of tags of the form y t^n <- x with x not divisible by t, together with the collection of untagged z such that no z t^n is tagged. Then the homology of C, complete with its F2[t]-module structure, can be directly read off this table. #|-------------------------|# #|What is the Curtis table?|# #|-------------------------|# Consider again the lambda algebra Lambda. This has a basis of admissible words. Order these lexicographically, so that #(r1 ... rn) <= #(s1 ... sm) if r1 < s1, or else r1 = s1 and r2 < s2, or else etc. This ordering is (recursively) compatible with the filtration Lambda = colim_u Lambda(u) and short exact sequences Lambda(u) -> Lambda(u+1) -h-> Lambda(2u+1). So with the above story and the definition of h, we learn the following: There is a tag #(I) <- #(J) for the full Curtis table of Lambda if and only if there is a tag #(u I) <- #(u J), supposing that #(u I) and #(u J) are admissible. Now the Curtis table for Lambda is defined to be the full Curtis table, only with all tags of the form #(u I) <- #(u J) omitted. The full Curtis table is easily recovered from this simply by prepending various letters onto tags. Moreover, the homology of Lambda, of each Lambda(u), and of the differentials in the algebraic EHP spectral sequence are easily read off the Curtis table. It is standard to omit another piece of information in the Curtis table, namely words with even endings. The only stable data lost in doing so is the untagged cycles #(0 ...), and the only unstable data lost is more towers corresponding to copies of the integers seen in the unstable homotopy groups of spheres. We end with a few examples illustrating the use of the Curtis table. 1) There are untagged permanent cycles #(1) and #(3). These correspond to the elements eta in pi_3 S^2, and nu in pi_7 S^4. There's a relation in Lambda of #(1 3) = 0, and this corresponds to the identity (eta o nu) = 0. On the other hand, #(3 1) is admissible, but there's a tag #(3 1) <- #(5). This corresponds to the fact that (nu o (Sigma^5 eta)) is nonzero, but vanishes after double suspension. 2) There's an untagged cycle #(3 3 3), so h2 h2 h2 is nonzero. (Here hn is #(2^n-1)). On the other hand, there's a tag #(7 1 1) <- #(9 1). This doesn't mean h3 h1 h1 is zero; instead, you need to go through a completion process. First you compute d(#(9 1)) = #(7 1 1) + #(5 3 1). There's a tag #(3 1) <- #(5) which gives a tag #(5 3 1) <- #(5 5), so next you compute d(#(9 1) + #(5 5)) = #(7 1 1) + #(3 3 3). In the end you learn h3 h1 h1 = h2 h2 h2. 3) There's a squaring operation Q on the cohomology of the Steenrod algebra. This lifts to an endomorphism of differential graded algebra theta : Lambda -> Lambda given by theta(#(n)) = #(2n+1). For example, the identity Q(c0) = c1 is seen in the Curtis table by the identity theta(#(2 3 3)) = #(5 7 7). #|----------------|# #|The Curtis table|# #|----------------|# The table is formatted as follows. As above, words are written #(r1 ... rn). Each line is an entry in the table, and is of the form ((stem filtration) entry), where entry has one or two words. If there's one word, that's an untagged word; if there's two words, the first word is tagged by the second. The number following a word is the number of additional words added in the completion process. ((1 1) #(1) 0) ((2 2) #(1 1) 0) ((3 1) #(3) 0) ((3 2) #(2 1) 0) ((3 3) #(1 1 1) 0) ((4 2) #(3 1) 0 #(5) 0) ((4 3) #(1 2 1) 0 #(2 3) 0) ((4 3) #(2 1 1) 0 #(4 1) 0) ((4 4) #(1 1 1 1) 0 #(2 2 1) 0) ((5 3) #(3 1 1) 0 #(5 1) 0) ((5 4) #(1 2 1 1) 0 #(2 3 1) 0) ((5 4) #(2 1 1 1) 0 #(4 1 1) 0) ((6 2) #(3 3) 0) ((6 3) #(3 2 1) 0 #(4 3) 0) ((6 4) #(3 1 1 1) 1 #(4 2 1) 0) ((6 5) #(1 2 1 1 1) 0 #(2 3 1 1) 0) ((7 1) #(7) 0) ((7 2) #(6 1) 1) ((7 3) #(5 1 1) 2) ((7 4) #(4 1 1 1) 2) ((8 2) #(5 3) 0) ((8 2) #(7 1) 1 #(9) 0) ((8 3) #(2 3 3) 0) ((8 3) #(5 2 1) 1 #(6 3) 0) ((8 3) #(6 1 1) 1 #(8 1) 0) ((8 4) #(5 1 1 1) 1 #(6 2 1) 0) ((9 3) #(3 3 3) 0) ((9 3) #(7 1 1) 1 #(9 1) 0) ((9 4) #(1 2 3 3) 0) ((9 4) #(6 1 1 1) 1 #(8 1 1) 0) ((9 5) #(2 4 1 1 1) 4) ((10 2) #(7 3) 0 #(11) 0) ((10 3) #(3 6 1) 1 #(4 7) 0) ((10 3) #(4 3 3) 0 #(10 1) 2) ((10 3) #(7 2 1) 1 #(8 3) 0) ((10 4) #(2 2 3 3) 0 #(9 1 1) 5) ((10 4) #(3 5 1 1) 6 #(4 6 1) 1) ((10 4) #(7 1 1 1) 2 #(8 2 1) 0) ((10 5) #(1 1 2 3 3) 0 #(8 1 1 1) 6) ((10 5) #(3 4 1 1 1) 6 #(4 5 1 1) 2) ((10 6) #(1 2 4 1 1 1) 4) ((11 3) #(3 5 3) 0 #(5 7) 0) ((11 3) #(5 3 3) 0 #(9 3) 0) ((11 4) #(2 3 3 3) 0 #(4 5 3) 0) ((11 4) #(3 2 3 3) 0 #(6 3 3) 0) ((11 4) #(3 6 1 1) 1 #(4 7 1) 0) ((11 5) #(1 2 2 3 3) 0 #(2 4 3 3) 0) ((11 5) #(2 1 2 3 3) 0 #(4 2 3 3) 0) ((11 5) #(4 4 1 1 1) 8) ((11 6) #(1 1 1 2 3 3) 0 #(2 2 2 3 3) 0) ((11 6) #(2 2 4 1 1 1) 6) ((11 7) #(1 1 2 4 1 1 1) 4) ((12 2) #(11 1) 1 #(13) 0) ((12 3) #(5 6 1) 2 #(6 7) 0) ((12 3) #(9 2 1) 3 #(10 3) 0) ((12 3) #(10 1 1) 2 #(12 1) 0) ((12 4) #(3 3 3 3) 0 #(5 5 3) 0) ((12 4) #(5 5 1 1) 5 #(6 6 1) 1) ((12 4) #(9 1 1 1) 3 #(10 2 1) 0) ((12 5) #(1 2 3 3 3) 0 #(2 3 5 3) 0) ((12 5) #(3 1 2 3 3) 0 #(5 2 3 3) 0) ((12 5) #(3 6 1 1 1) 1 #(4 7 1 1) 0) ((12 5) #(5 4 1 1 1) 5 #(6 5 1 1) 2) ((12 6) #(1 2 1 2 3 3) 0 #(2 3 2 3 3) 0) ((12 6) #(2 1 1 2 3 3) 0 #(4 1 2 3 3) 0) ((12 6) #(3 2 4 1 1 1) 4 #(6 4 1 1 1) 5) ((12 7) #(1 2 2 4 1 1 1) 6 #(2 4 4 1 1 1) 8) ((12 7) #(2 1 2 4 1 1 1) 4 #(4 2 4 1 1 1) 6) ((12 8) #(1 1 1 2 4 1 1 1) 4 #(2 2 2 4 1 1 1) 6) ((13 3) #(7 3 3) 0 #(11 3) 0) ((13 3) #(11 1 1) 1 #(13 1) 0) ((13 4) #(3 4 3 3) 0 #(4 7 3) 0) ((13 4) #(4 3 3 3) 0 #(8 3 3) 0) ((13 4) #(10 1 1 1) 2 #(12 1 1) 0) ((13 5) #(3 2 2 3 3) 1 #(4 4 3 3) 0) ((13 6) #(3 1 1 2 3 3) 1 #(4 2 2 3 3) 0) ((13 7) #(1 2 1 1 2 3 3) 0 #(2 3 1 2 3 3) 0) ((13 7) #(3 1 2 4 1 1 1) 4 #(5 2 4 1 1 1) 4) ((13 8) #(1 2 1 2 4 1 1 1) 4 #(2 3 2 4 1 1 1) 4) ((13 8) #(2 1 1 2 4 1 1 1) 4 #(4 1 2 4 1 1 1) 4) ((14 2) #(7 7) 0) ((14 3) #(6 5 3) 0) ((14 3) #(7 6 1) 2 #(8 7) 0) ((14 3) #(11 2 1) 2 #(12 3) 0) ((14 4) #(3 5 3 3) 0 #(5 7 3) 0) ((14 4) #(5 3 3 3) 0 #(9 3 3) 0) ((14 4) #(6 2 3 3) 2) ((14 4) #(7 5 1 1) 8 #(8 6 1) 1) ((14 4) #(11 1 1 1) 3 #(12 2 1) 0) ((14 5) #(2 3 3 3 3) 0 #(4 5 3 3) 0) ((14 5) #(5 1 2 3 3) 3) ((14 5) #(7 4 1 1 1) 9 #(8 5 1 1) 2) ((14 6) #(3 4 4 1 1 1) 8) ((14 7) #(3 2 2 4 1 1 1) 12 #(4 4 4 1 1 1) 10) ((14 8) #(3 1 1 2 4 1 1 1) 11 #(4 2 2 4 1 1 1) 6) ((14 9) #(1 2 1 1 2 4 1 1 1) 4 #(2 3 1 2 4 1 1 1) 4) ((15 1) #(15) 0) ((15 2) #(14 1) 2) ((15 3) #(7 5 3) 0 #(9 7) 0) ((15 3) #(13 1 1) 8) ((15 4) #(6 3 3 3) 1 #(8 5 3) 0) ((15 4) #(7 2 3 3) 2 #(10 3 3) 0) ((15 4) #(12 1 1 1) 19) ((15 5) #(2 4 3 3 3) 1) ((15 5) #(6 1 2 3 3) 1 #(8 2 3 3) 0) ((15 5) #(8 4 1 1 1) 22) ((15 6) #(1 2 3 3 3 3) 0 #(2 3 5 3 3) 0) ((15 6) #(6 2 4 1 1 1) 28) ((15 7) #(5 1 2 4 1 1 1) 27) ((15 8) #(4 1 1 2 4 1 1 1) 20) ((16 2) #(13 3) 1) ((16 2) #(15 1) 2 #(17) 0) ((16 3) #(9 6 1) 3 #(10 7) 0) ((16 3) #(13 2 1) 2 #(14 3) 0) ((16 3) #(14 1 1) 2 #(16 1) 0) ((16 4) #(7 3 3 3) 1 #(9 5 3) 0) ((16 4) #(9 5 1 1) 9 #(10 6 1) 1) ((16 4) #(13 1 1 1) 2 #(14 2 1) 0) ((16 5) #(3 4 3 3 3) 0 #(4 7 3 3) 0) ((16 5) #(7 1 2 3 3) 1 #(9 2 3 3) 0) ((16 5) #(9 4 1 1 1) 11 #(10 5 1 1) 2) ((16 6) #(1 2 4 3 3 3) 1) ((16 6) #(5 4 4 1 1 1) 22 #(8 1 2 3 3) 12) ((16 6) #(7 2 4 1 1 1) 13 #(10 4 1 1 1) 5) ((16 7) #(2 3 4 4 1 1 1) 19) ((16 7) #(5 2 2 4 1 1 1) 15 #(6 4 4 1 1 1) 10) ((16 7) #(6 1 2 4 1 1 1) 9 #(8 2 4 1 1 1) 6) ((16 8) #(5 1 1 2 4 1 1 1) 11 #(6 2 2 4 1 1 1) 6) ((17 3) #(11 3 3) 2) ((17 3) #(15 1 1) 2 #(17 1) 0) ((17 4) #(3 6 5 3) 0 #(4 7 7) 0) ((17 4) #(5 10 1 1) 7 #(6 11 1) 1) ((17 4) #(8 3 3 3) 3) ((17 4) #(14 1 1 1) 2 #(16 1 1) 0) ((17 5) #(3 5 3 3 3) 3 #(4 6 5 3) 0) ((17 5) #(3 6 2 3 3) 2) ((17 6) #(2 2 4 3 3 3) 2) ((17 6) #(3 5 1 2 3 3) 9 #(4 6 2 3 3) 2) ((17 7) #(1 1 2 4 3 3 3) 1) ((17 7) #(3 3 4 4 1 1 1) 24 #(4 5 1 2 3 3) 12) ((17 7) #(7 1 2 4 1 1 1) 9 #(9 2 4 1 1 1) 4) ((17 8) #(1 2 3 4 4 1 1 1) 19) ((17 8) #(6 1 1 2 4 1 1 1) 9 #(8 1 2 4 1 1 1) 4) ((17 9) #(2 4 1 1 2 4 1 1 1) 32) ((18 2) #(11 7) 0) ((18 2) #(15 3) 1 #(19) 0) ((18 3) #(10 5 3) 1) ((18 3) #(11 6 1) 4 #(12 7) 0) ((18 3) #(12 3 3) 4 #(18 1) 2) ((18 3) #(15 2 1) 2 #(16 3) 0) ((18 4) #(5 7 3 3) 3) ((18 4) #(9 3 3 3) 2) ((18 4) #(10 2 3 3) 7 #(17 1 1) 5) ((18 4) #(11 5 1 1) 10 #(12 6 1) 1) ((18 4) #(15 1 1 1) 3 #(16 2 1) 0) ((18 5) #(3 6 3 3 3) 1 #(4 7 5 3) 0) ((18 5) #(4 5 3 3 3) 2) ((18 5) #(5 10 1 1 1) 7 #(6 11 1 1) 1) ((18 5) #(9 1 2 3 3) 11 #(16 1 1 1) 6) ((18 5) #(11 4 1 1 1) 12 #(12 5 1 1) 2) ((18 6) #(3 2 4 3 3 3) 1 #(5 6 2 3 3) 4) ((18 6) #(3 6 1 2 3 3) 1 #(4 7 2 3 3) 0) ((18 6) #(7 4 4 1 1 1) 16 #(12 4 1 1 1) 8) ((18 7) #(1 2 2 4 3 3 3) 3 #(2 3 6 2 3 3) 4) ((18 7) #(2 1 2 4 3 3 3) 1 #(4 2 4 3 3 3) 2) ((18 7) #(3 6 2 4 1 1 1) 57 #(4 8 4 1 1 1) 22) ((18 7) #(4 3 4 4 1 1 1) 24 #(10 2 4 1 1 1) 43) ((18 7) #(7 2 2 4 1 1 1) 21 #(8 4 4 1 1 1) 10) ((18 8) #(1 1 1 2 4 3 3 3) 1 #(2 2 2 4 3 3 3) 2) ((18 8) #(2 2 3 4 4 1 1 1) 19 #(9 1 2 4 1 1 1) 67) ((18 8) #(3 5 1 2 4 1 1 1) 70 #(4 6 2 4 1 1 1) 28) ((18 8) #(7 1 1 2 4 1 1 1) 18 #(8 2 2 4 1 1 1) 6) ((18 9) #(1 1 2 3 4 4 1 1 1) 19 #(8 1 1 2 4 1 1 1) 74) ((18 9) #(3 4 1 1 2 4 1 1 1) 55 #(4 5 1 2 4 1 1 1) 27) ((18 10) #(1 2 4 1 1 2 4 1 1 1) 32) ((19 3) #(5 7 7) 0) ((19 3) #(11 5 3) 1 #(13 7) 0) ((19 3) #(13 3 3) 1 #(17 3) 0) ((19 4) #(5 6 5 3) 1 #(6 7 7) 0) ((19 4) #(10 3 3 3) 2 #(12 5 3) 0) ((19 4) #(11 2 3 3) 1 #(14 3 3) 0) ((19 5) #(10 1 2 3 3) 2 #(12 2 3 3) 0) ((19 6) #(5 5 1 2 3 3) 8 #(6 6 2 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