universalIdeal -- computes the universal realization ideal of a matroid

Synopsis

Usage:

U = universalIdeal M

U = universalIdeal V
Inputs:
- M, a matroid, a matroid
- V, a list, a list of points of a representation of a matroid
Optional inputs:
- CoefficientRing => ..., default value QQ, specifies the coefficient ring of the underlying ring of the ideal
- Vars => ..., default value {}, specifies the variables to use to create the underlying ring of the ideal
Outputs:
- U, an ideal, the universal realization ideal in Pluecker and slack variables

Description

The universal realization ideal defines a variety containing points (p, S) which are pairs of a Pluecker vector and a slack matrix coming from the same realization of the matroid.

i1 : M = matroid({0, 1, 2, 3, 4, 5}, {{1, 2, 3}, {0, 2, 4}, {0, 3, 5}, {1, 4, 5}}, EntryMode => "nonbases");

i2 : U = universalIdeal M

o2 = ideal (- p     p      + p     p     , - p     p      + p     p     ,
               1,3,5 2,4,5    1,2,5 3,4,5     1,3,4 2,4,5    1,2,4 3,4,5 
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p      + p     p     , p     p      + p     p     , p     p      +
      2,3,5 0,4,5    0,2,5 3,4,5   1,3,5 0,4,5    0,1,5 3,4,5   1,2,5 0,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , p     p      - p     p     , p     p      + p     p     ,
      0,1,5 2,4,5   2,3,4 0,4,5    0,3,4 2,4,5   1,3,4 0,4,5    0,1,4 3,4,5 
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p      + p     p     , p     p      - p     p     , p     p      -
      1,2,4 0,4,5    0,1,4 2,4,5   0,1,3 2,4,5    0,1,2 3,4,5   2,3,4 1,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , - p     p      + p     p     , - p     p      +
      1,3,4 2,3,5     0,2,5 1,3,5    0,1,5 2,3,5     0,3,4 2,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , - p     p      + p     p     , p     p      +
      0,2,3 3,4,5     0,3,4 1,3,5    0,1,3 3,4,5   0,1,4 2,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , - p     p      + p     p     , p     p      -
      0,1,2 3,4,5     0,2,3 1,3,5    0,1,3 2,3,5   2,3,4 1,2,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , p     p      - p     p     , p     p      + p     p      -
      1,2,4 2,3,5   1,3,4 1,2,5    1,2,4 1,3,5   0,3,4 1,2,5    0,1,4 2,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p      + p     p     , p     p      + p     p     , p     p      +
      0,1,3 2,4,5    0,1,2 3,4,5   2,3,4 0,2,5    0,2,3 2,4,5   1,3,4 0,2,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , p     p      + p     p     , p     p      + p     p     ,
      0,1,2 3,4,5   0,3,4 0,2,5    0,2,3 0,4,5   1,2,4 0,2,5    0,1,2 2,4,5 
     ------------------------------------------------------------------------
     - p     p      + p     p     , p     p      - p     p      +
        0,2,3 1,2,5    0,1,2 2,3,5   2,3,4 0,1,5    0,1,4 2,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p      - p     p     , p     p      - p     p     , p     p      +
      0,1,3 2,4,5    0,1,2 3,4,5   1,3,4 0,1,5    0,1,4 1,3,5   0,3,4 0,1,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , p     p      - p     p     , - p     p      +
      0,1,3 0,4,5   1,2,4 0,1,5    0,1,4 1,2,5     0,1,4 0,2,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , - p     p      + p     p     , p     p      -
      0,1,2 0,4,5     0,1,3 1,2,5    0,1,2 1,3,5   0,2,3 0,1,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , p     p      + p     p     , - p     p      +
      0,1,3 0,2,5   1,2,4 0,3,4    0,1,4 2,3,4     0,2,3 1,3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , - p     p      + p     p     , - p     p      +
      0,1,3 2,3,4     0,2,3 1,2,4    0,1,2 2,3,4     0,1,3 1,2,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , p     p      + p     p     , - x p      + x p     , -
      0,1,2 1,3,4   0,2,3 0,1,4    0,1,2 0,3,4     8 0,4,5    0 2,4,5   
     ------------------------------------------------------------------------
     x  p      + x p     , - x  p      + x p     , - x p      - x p     , -
      12 0,4,5    0 3,4,5     12 2,4,5    8 3,4,5     8 0,1,4    0 1,2,4   
     ------------------------------------------------------------------------
     x  p      - x p     , x  p      - x p     , - p     p      -
      12 0,1,4    0 1,3,4   12 1,2,4    8 1,3,4     1,2,4 0,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , - p     p      - p     p     , - p     p      +
      0,1,4 2,4,5     1,3,4 0,4,5    0,1,4 3,4,5     1,3,4 2,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , - x p      - x p     , - x  p      - x p     , x  p      -
      1,2,4 3,4,5     8 0,1,5    0 1,2,5     12 0,1,5    0 1,3,5   12 1,2,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     x p     , - p     p      - p     p     , - p     p      - p     p     ,
      8 1,3,5     1,2,5 0,4,5    0,1,5 2,4,5     1,3,5 0,4,5    0,1,5 3,4,5 
     ------------------------------------------------------------------------
     - p     p      + p     p     , p     p      - p     p     , p     p     
        1,3,5 2,4,5    1,2,5 3,4,5   1,2,4 0,1,5    0,1,4 1,2,5   1,3,4 0,1,5
     ------------------------------------------------------------------------
     - p     p     , - p     p      + p     p     , x p      - x p     ,
        0,1,4 1,3,5     1,3,4 1,2,5    1,2,4 1,3,5   9 0,1,5    4 0,2,5 
     ------------------------------------------------------------------------
     x  p      - x p     , x  p      - x p     , x p      - x p     ,
      16 0,1,5    4 0,4,5   16 0,2,5    9 0,4,5   9 0,1,3    4 0,2,3 
     ------------------------------------------------------------------------
     x  p      + x p     , x  p      + x p     , p     p      - p     p     ,
      16 0,1,3    4 0,3,4   16 0,2,3    9 0,3,4   0,2,3 0,1,5    0,1,3 0,2,5 
     ------------------------------------------------------------------------
     - p     p      - p     p     , - p     p      - p     p     , - x p     
        0,3,4 0,1,5    0,1,3 0,4,5     0,3,4 0,2,5    0,2,3 0,4,5     9 1,3,5
     ------------------------------------------------------------------------
     + x p     , - x  p      - x p     , - x  p      - x p     , p     p     
        4 2,3,5     16 1,3,5    4 3,4,5     16 2,3,5    9 3,4,5   0,2,5 1,3,5
     ------------------------------------------------------------------------
     - p     p     , p     p      + p     p     , p     p      +
        0,1,5 2,3,5   1,3,5 0,4,5    0,1,5 3,4,5   2,3,5 0,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , p     p      - p     p     , - p     p      +
      0,2,5 3,4,5   0,2,3 1,3,5    0,1,3 2,3,5     0,3,4 1,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , - p     p      + p     p     , - x p      + x p     , -
      0,1,3 3,4,5     0,3,4 2,3,5    0,2,3 3,4,5     5 0,2,5    1 1,2,5   
     ------------------------------------------------------------------------
     x  p      - x p     , - x  p      - x p     , - x  p      - x p     , -
      13 0,2,5    1 2,3,5     13 1,2,5    5 2,3,5     17 0,2,5    1 2,4,5   
     ------------------------------------------------------------------------
     x  p      - x p     , x  p      - x  p     , - x p      + x p     , -
      17 1,2,5    5 2,4,5   17 2,3,5    13 2,4,5     6 0,3,4    2 1,3,4   
     ------------------------------------------------------------------------
     x  p      + x p     , - x  p      + x p     , - x  p      + x p     , -
      10 0,3,4    2 2,3,4     10 1,3,4    6 2,3,4     20 0,3,4    2 3,4,5   
     ------------------------------------------------------------------------
     x  p      + x p     , - x  p      + x  p     , x  p      - x p     ,
      20 1,3,4    6 3,4,5     20 2,3,4    10 3,4,5   14 0,1,4    7 0,3,4 
     ------------------------------------------------------------------------
     x  p      + x p     , x  p      + x  p     , - x  p      - x p     , -
      21 0,1,4    7 0,4,5   21 0,3,4    14 0,4,5     14 1,2,4    7 2,3,4   
     ------------------------------------------------------------------------
     x  p      + x p     , x  p      + x  p     , p     p      +
      21 1,2,4    7 2,4,5   21 2,3,4    14 2,4,5   1,2,4 0,3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , - p     p      - p     p     , p     p      -
      0,1,4 2,3,4     1,2,4 0,4,5    0,1,4 2,4,5   2,3,4 0,4,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , x  p      + x p     , x  p      + x p     , - x  p      +
      0,3,4 2,4,5   14 0,1,2    7 0,2,3   21 0,1,2    7 0,2,5     21 0,2,3  
     ------------------------------------------------------------------------
     x  p     , - p     p      - p     p     , - p     p      + p     p     ,
      14 0,2,5     0,2,3 0,1,4    0,1,2 0,3,4     0,1,4 0,2,5    0,1,2 0,4,5 
     ------------------------------------------------------------------------
     - p     p      - p     p     , p     p      - p     p     , p     p     
        0,3,4 0,2,5    0,2,3 0,4,5   0,2,3 1,2,4    0,1,2 2,3,4   1,2,4 0,2,5
     ------------------------------------------------------------------------
     + p     p     , - p     p      - p     p     , - x  p      + x p     , -
        0,1,2 2,4,5     2,3,4 0,2,5    0,2,3 2,4,5     18 0,1,2    3 1,2,4   
     ------------------------------------------------------------------------
     x  p      + x p     , - x  p      + x  p     , - x  p      + x p     , -
      22 0,1,2    3 1,2,5     22 1,2,4    18 1,2,5     18 0,1,3    3 1,3,4   
     ------------------------------------------------------------------------
     x  p      + x p     , - x  p      + x  p     , - p     p      +
      22 0,1,3    3 1,3,5     22 1,3,4    18 1,3,5     0,1,3 1,2,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , - p     p      + p     p     , - p     p      +
      0,1,2 1,3,4     0,1,3 1,2,5    0,1,2 1,3,5     1,3,4 1,2,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , - x  p      + x p     , - x  p      + x p     , -
      1,2,4 1,3,5     18 0,2,3    3 2,3,4     22 0,2,3    3 2,3,5   
     ------------------------------------------------------------------------
     x  p      + x  p     , - p     p      + p     p     , - p     p      +
      22 2,3,4    18 2,3,5     0,2,3 1,2,4    0,1,2 2,3,4     0,2,3 1,2,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , - p     p      + p     p     , - p     p      +
      0,1,2 2,3,5     2,3,4 1,2,5    1,2,4 2,3,5     0,2,3 1,3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , - p     p      + p     p     , - p     p      +
      0,1,3 2,3,4     0,2,3 1,3,5    0,1,3 2,3,5     2,3,4 1,3,5  
     ------------------------------------------------------------------------
     p     p     , - x  p      + x  p     , - x  p      + x  p     , -
      1,3,4 2,3,5     15 0,1,2    11 0,1,3     19 0,1,2    11 0,1,4   
     ------------------------------------------------------------------------
     x  p      + x  p     , - x  p      + x  p     , - x  p      + x  p     ,
      19 0,1,3    15 0,1,4     23 0,1,2    11 0,1,5     23 0,1,3    15 0,1,5 
     ------------------------------------------------------------------------
     - x  p      + x  p     )
        23 0,1,4    19 0,1,5

o2 : Ideal of QQ[x ..x  , p     ..p     , p     , p     , p     , p     , p     , p     , p     , p     , p     , p     , p     , p     , p     , p     , p     , p     , p     , p     ]
                  0   23   0,1,2   0,1,3   0,2,3   1,2,3   0,1,4   0,2,4   1,2,4   0,3,4   1,3,4   2,3,4   0,1,5   0,2,5   1,2,5   0,3,5   1,3,5   2,3,5   0,4,5   1,4,5   2,4,5   3,4,5

Caveat

A list of points representing a matroid are always assumed to be in affine space and are projectivized by appending 1 to vector of coordinates.

Ways to use `universalIdeal` :

"universalIdeal(List)"
"universalIdeal(Matroid)"

For the programmer

The object universalIdeal is a method function with options.