# chowForm -- Chow form of a projective variety

## Synopsis

• Usage:
chowForm I
• Inputs:
• I, an ideal, a homogeneous ideal defining a projective variety $X=V(I)\subset\mathbb{P}^n$
• Optional inputs:
• AffineChartGrass => ..., default value true, use an affine chart on the Grassmannian
• AffineChartProj => ..., default value true, use an affine chart on the projective space
• Duality => ..., default value null, whether to use dual Plücker coordinates
• Variable => ..., default value null, specify a name for a variable
• Outputs:
• , the Chow form of $X$ in the coordinate ring of the Grassmannian $\mathbb{G}(n-dim(X)-1,\mathbb{P}^n)$ in the Plücker embedding

## Description

This is the same as tangentialChowForm(I,0), see tangentialChowForm. Below, we compute the Chow form of the Veronese surface and then we compare it with the resultant of three ternary quadrics.

 i1 : -- Veronese surface in P^5 f = veronese(2,2,ZZ/3331); V = kernel f ZZ ZZ o1 : RingMap ----[t ..t ] <--- ----[x ..x ] 3331 0 2 3331 0 5 2 2 2 o2 = ideal (x - x x , x x - x x , x x - x x , x - x x , x x - x x , x - 4 3 5 2 4 1 5 2 3 1 4 2 0 5 1 2 0 4 1 ------------------------------------------------------------------------ x x ) 0 3 ZZ o2 : Ideal of ----[x ..x ] 3331 0 5 i3 : -- Chow form of V in Grass(2,5) (performing internal computations on an affine chart of the Grassmannian) time ChowV = chowForm(V,AffineChartGrass=>{1,2,3}) -- used 14.9095 seconds 4 2 2 2 2 o3 = x + 2x x x + x x - 2x x x + 1,2,4 0,2,4 1,2,4 2,3,4 0,2,4 2,3,4 1,2,3 1,2,4 1,2,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 x x - x x x + x x x x + 1,2,3 1,2,5 0,2,4 1,2,4 1,3,5 0,2,3 1,2,4 1,2,5 1,3,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 x x x x - x x x - 3x x x - 0,1,4 1,2,4 1,2,5 1,3,5 0,1,3 1,2,5 1,3,5 0,2,3 1,2,4 2,3,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 x x x - x x x - x x x x - 0,1,4 1,2,4 2,3,5 0,2,4 1,3,4 2,3,5 0,2,3 0,2,4 2,3,4 2,3,5 ------------------------------------------------------------------------ x x x x + 2x x x x + 0,1,4 0,2,4 2,3,4 2,3,5 0,1,2 1,2,4 2,3,4 2,3,5 ------------------------------------------------------------------------ x x x x + x x x x + 0,2,3 1,2,3 1,2,5 2,3,5 0,1,3 1,2,4 1,2,5 2,3,5 ------------------------------------------------------------------------ x x x x + x x x x - 0,2,3 0,2,4 1,3,5 2,3,5 0,1,4 0,2,4 1,3,5 2,3,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 x x x x - x x x + x x x + 0,1,3 0,2,5 1,3,5 2,3,5 0,1,2 1,2,3 2,3,5 0,1,3 0,2,4 2,3,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2x x x - 2x x x + x x x - 0,2,3 1,2,4 1,4,5 0,1,4 1,2,4 1,4,5 0,2,4 1,3,4 1,4,5 ------------------------------------------------------------------------ 2x x x x + 2x x x x - 0,2,3 1,2,3 1,2,5 1,4,5 0,1,3 1,2,4 1,2,5 1,4,5 ------------------------------------------------------------------------ x x x x - x x x x + 0,2,3 0,2,4 1,3,5 1,4,5 0,1,4 0,2,4 1,3,5 1,4,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 x x x x + x x x x + x x - 0,1,2 1,2,4 1,3,5 1,4,5 0,1,3 0,2,5 1,3,5 1,4,5 0,2,3 1,4,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2x x x + x x - 2x x x - 0,1,2 1,2,3 1,4,5 0,1,4 1,4,5 0,1,2 0,3,4 1,4,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 x x x + 2x x x x + 2x x x - 0,1,3 0,1,5 1,4,5 0,2,3 1,2,3 1,2,4 2,4,5 0,1,3 1,2,4 2,4,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 8x x x x + x x x + 0,1,2 1,2,4 1,3,4 2,4,5 0,2,3 2,3,4 2,4,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 2x x x x + x x x - 0,1,2 1,2,3 2,3,4 2,4,5 0,1,4 2,3,4 2,4,5 ------------------------------------------------------------------------ 2x x x x - 2x x x x - 0,1,2 0,3,4 2,3,4 2,4,5 0,1,3 1,2,3 1,2,5 2,4,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 x x x + 2x x x x - x x x + 0,2,3 1,3,5 2,4,5 0,1,2 1,2,3 1,3,5 2,4,5 0,1,4 1,3,5 2,4,5 ------------------------------------------------------------------------ 2x x x x + x x x x - 0,1,2 0,3,4 1,3,5 2,4,5 0,1,3 0,1,5 1,3,5 2,4,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 x x x x - x x x x + x x - 0,1,3 0,2,3 2,3,5 2,4,5 0,1,3 0,1,4 2,3,5 2,4,5 0,1,3 2,4,5 ------------------------------------------------------------------------ x x x x + 3x x x x + 0,2,3 0,2,4 1,2,4 3,4,5 0,1,4 0,2,4 1,2,4 3,4,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3x x x - x x x + 2x x x x + 0,1,2 1,2,4 3,4,5 0,2,4 0,3,4 3,4,5 0,1,2 0,2,4 2,3,4 3,4,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2x x x - x x x - 3x x x x + 0,2,3 1,2,5 3,4,5 0,1,4 1,2,5 3,4,5 0,1,3 0,2,4 1,2,5 3,4,5 ------------------------------------------------------------------------ x x x x + x x x x + 0,1,3 0,1,5 1,2,5 3,4,5 0,2,3 0,2,4 0,3,5 3,4,5 ------------------------------------------------------------------------ x x x x - x x x x - 0,1,4 0,2,4 0,3,5 3,4,5 0,1,3 0,2,5 0,3,5 3,4,5 ------------------------------------------------------------------------ 2x x x x - x x x x - 0,1,2 0,2,3 2,3,5 3,4,5 0,1,2 0,1,4 2,3,5 3,4,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 x x x - x x x + 2x x x x + 0,2,3 0,4,5 3,4,5 0,1,4 0,4,5 3,4,5 0,1,2 0,3,4 0,4,5 3,4,5 ------------------------------------------------------------------------ x x x x + 2x x x x + 0,1,3 0,1,5 0,4,5 3,4,5 0,1,2 0,2,3 1,4,5 3,4,5 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 x x x x + x x x x + x x 0,1,2 0,1,4 1,4,5 3,4,5 0,1,2 0,1,3 2,4,5 3,4,5 0,1,2 3,4,5 ZZ ----[x ..x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x ] 3331 0,1,2 0,1,3 0,2,3 1,2,3 0,1,4 0,2,4 1,2,4 0,3,4 1,3,4 2,3,4 0,1,5 0,2,5 1,2,5 0,3,5 1,3,5 2,3,5 0,4,5 1,4,5 2,4,5 3,4,5 o3 : ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x - x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x + x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x - x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x ) 2,3,5 1,4,5 1,3,5 2,4,5 1,2,5 3,4,5 2,3,4 1,4,5 1,3,4 2,4,5 1,2,4 3,4,5 2,3,5 0,4,5 0,3,5 2,4,5 0,2,5 3,4,5 1,3,5 0,4,5 0,3,5 1,4,5 0,1,5 3,4,5 1,2,5 0,4,5 0,2,5 1,4,5 0,1,5 2,4,5 2,3,4 0,4,5 0,3,4 2,4,5 0,2,4 3,4,5 1,3,4 0,4,5 0,3,4 1,4,5 0,1,4 3,4,5 1,2,4 0,4,5 0,2,4 1,4,5 0,1,4 2,4,5 1,2,3 0,4,5 0,2,3 1,4,5 0,1,3 2,4,5 0,1,2 3,4,5 2,3,4 1,3,5 1,3,4 2,3,5 1,2,3 3,4,5 1,2,5 0,3,5 0,2,5 1,3,5 0,1,5 2,3,5 2,3,4 0,3,5 0,3,4 2,3,5 0,2,3 3,4,5 1,3,4 0,3,5 0,3,4 1,3,5 0,1,3 3,4,5 1,2,4 0,3,5 0,2,4 1,3,5 0,1,4 2,3,5 0,1,2 3,4,5 1,2,3 0,3,5 0,2,3 1,3,5 0,1,3 2,3,5 2,3,4 1,2,5 1,2,4 2,3,5 1,2,3 2,4,5 1,3,4 1,2,5 1,2,4 1,3,5 1,2,3 1,4,5 0,3,4 1,2,5 0,2,4 1,3,5 0,1,4 2,3,5 0,2,3 1,4,5 0,1,3 2,4,5 0,1,2 3,4,5 2,3,4 0,2,5 0,2,4 2,3,5 0,2,3 2,4,5 1,3,4 0,2,5 0,2,4 1,3,5 0,2,3 1,4,5 0,1,2 3,4,5 0,3,4 0,2,5 0,2,4 0,3,5 0,2,3 0,4,5 1,2,4 0,2,5 0,2,4 1,2,5 0,1,2 2,4,5 1,2,3 0,2,5 0,2,3 1,2,5 0,1,2 2,3,5 2,3,4 0,1,5 0,1,4 2,3,5 0,1,3 2,4,5 0,1,2 3,4,5 1,3,4 0,1,5 0,1,4 1,3,5 0,1,3 1,4,5 0,3,4 0,1,5 0,1,4 0,3,5 0,1,3 0,4,5 1,2,4 0,1,5 0,1,4 1,2,5 0,1,2 1,4,5 0,2,4 0,1,5 0,1,4 0,2,5 0,1,2 0,4,5 1,2,3 0,1,5 0,1,3 1,2,5 0,1,2 1,3,5 0,2,3 0,1,5 0,1,3 0,2,5 0,1,2 0,3,5 1,2,4 0,3,4 0,2,4 1,3,4 0,1,4 2,3,4 1,2,3 0,3,4 0,2,3 1,3,4 0,1,3 2,3,4 1,2,3 0,2,4 0,2,3 1,2,4 0,1,2 2,3,4 1,2,3 0,1,4 0,1,3 1,2,4 0,1,2 1,3,4 0,2,3 0,1,4 0,1,3 0,2,4 0,1,2 0,3,4 i4 : -- equivalently (but faster)... time assert(ChowV === chowForm f) -- used 3.23442 seconds i5 : -- X-resultant of V time Xres = fromPluckerToStiefel dualize ChowV; -- used 0.991488 seconds i6 : -- three generic ternary quadrics F = genericPolynomials({2,2,2},ZZ/3331) 2 2 2 2 2 o6 = {a x + a x x + a x + a x x + a x x + a x , b x + b x x + b x + 0 0 1 0 1 3 1 2 0 2 4 1 2 5 2 0 0 1 0 1 3 1 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 b x x + b x x + b x , c x + c x x + c x + c x x + c x x + c x } 2 0 2 4 1 2 5 2 0 0 1 0 1 3 1 2 0 2 4 1 2 5 2 o6 : List i7 : -- resultant of the three forms time resF = resultant F; -- used 0.692646 seconds i8 : assert(resF === sub(Xres,vars ring resF) and Xres === sub(resF,vars ring Xres))

## Ways to use chowForm :

• "chowForm(Ideal)"
• "chowForm(RingMap)"

## For the programmer

The object chowForm is .