# Grassmannian(ZZ,ZZ) -- the Grassmannian of linear subspaces of a vector space

## Synopsis

• Function: Grassmannian
• Usage:
Grassmannian(k,r)
Grassmannian(k,r,R)
• Inputs:
• Optional inputs:
• CoefficientRing => a ring, default value ZZ, the coefficient ring for the polynomial ring to be made
• Variable => , default value "p", the base symbol for the indexed variables to be used. The subscripts are the elements of subsets(n+1,k+1), converted to sequences and, if k is 0, converted to integers.
• Outputs:
• an ideal, the ideal of the Grassmannian variety of all projective k-planes in Pr

## Description

If a polynomial ring R is given as the third argument, then the resulting ideal is moved to that ring.
 i1 : Grassmannian(1,3) o1 = ideal(p p - p p + p p ) 1,2 0,3 0,2 1,3 0,1 2,3 o1 : Ideal of ZZ[p ..p , p , p , p , p ] 0,1 0,2 1,2 0,3 1,3 2,3 i2 : J = Grassmannian(2,5, CoefficientRing => ZZ/31, Variable => T) o2 = ideal (T T - T T + T T , T T - 2,3,5 1,4,5 1,3,5 2,4,5 1,2,5 3,4,5 2,3,4 1,4,5 ------------------------------------------------------------------------ T T + T T , T T - T T + T T , 1,3,4 2,4,5 1,2,4 3,4,5 2,3,5 0,4,5 0,3,5 2,4,5 0,2,5 3,4,5 ------------------------------------------------------------------------ T T - T T + T T , T T - T T 1,3,5 0,4,5 0,3,5 1,4,5 0,1,5 3,4,5 1,2,5 0,4,5 0,2,5 1,4,5 ------------------------------------------------------------------------ + T T , T T - T T + T T , T T 0,1,5 2,4,5 2,3,4 0,4,5 0,3,4 2,4,5 0,2,4 3,4,5 1,3,4 0,4,5 ------------------------------------------------------------------------ - T T + T T , T T - T T + 0,3,4 1,4,5 0,1,4 3,4,5 1,2,4 0,4,5 0,2,4 1,4,5 ------------------------------------------------------------------------ T T , T T - T T + T T - T T , 0,1,4 2,4,5 1,2,3 0,4,5 0,2,3 1,4,5 0,1,3 2,4,5 0,1,2 3,4,5 ------------------------------------------------------------------------ T T - T T + T T , T T - T T 2,3,4 1,3,5 1,3,4 2,3,5 1,2,3 3,4,5 1,2,5 0,3,5 0,2,5 1,3,5 ------------------------------------------------------------------------ + T T , T T - T T + T T , T T 0,1,5 2,3,5 2,3,4 0,3,5 0,3,4 2,3,5 0,2,3 3,4,5 1,3,4 0,3,5 ------------------------------------------------------------------------ - T T + T T , T T - T T + 0,3,4 1,3,5 0,1,3 3,4,5 1,2,4 0,3,5 0,2,4 1,3,5 ------------------------------------------------------------------------ T T + T T , T T - T T + T T , 0,1,4 2,3,5 0,1,2 3,4,5 1,2,3 0,3,5 0,2,3 1,3,5 0,1,3 2,3,5 ------------------------------------------------------------------------ T T - T T + T T , T T - T T 2,3,4 1,2,5 1,2,4 2,3,5 1,2,3 2,4,5 1,3,4 1,2,5 1,2,4 1,3,5 ------------------------------------------------------------------------ + T T , T T - T T + T T + 1,2,3 1,4,5 0,3,4 1,2,5 0,2,4 1,3,5 0,1,4 2,3,5 ------------------------------------------------------------------------ T T - T T + T T , T T - T T 0,2,3 1,4,5 0,1,3 2,4,5 0,1,2 3,4,5 2,3,4 0,2,5 0,2,4 2,3,5 ------------------------------------------------------------------------ + T T , T T - T T + T T + 0,2,3 2,4,5 1,3,4 0,2,5 0,2,4 1,3,5 0,2,3 1,4,5 ------------------------------------------------------------------------ T T , T T - T T + T T , T T - 0,1,2 3,4,5 0,3,4 0,2,5 0,2,4 0,3,5 0,2,3 0,4,5 1,2,4 0,2,5 ------------------------------------------------------------------------ T T + T T , T T - T T + T T , 0,2,4 1,2,5 0,1,2 2,4,5 1,2,3 0,2,5 0,2,3 1,2,5 0,1,2 2,3,5 ------------------------------------------------------------------------ T T - T T + T T - T T , T T 2,3,4 0,1,5 0,1,4 2,3,5 0,1,3 2,4,5 0,1,2 3,4,5 1,3,4 0,1,5 ------------------------------------------------------------------------ - T T + T T , T T - T T + 0,1,4 1,3,5 0,1,3 1,4,5 0,3,4 0,1,5 0,1,4 0,3,5 ------------------------------------------------------------------------ T T , T T - T T + T T , T T - 0,1,3 0,4,5 1,2,4 0,1,5 0,1,4 1,2,5 0,1,2 1,4,5 0,2,4 0,1,5 ------------------------------------------------------------------------ T T + T T , T T - T T + T T , 0,1,4 0,2,5 0,1,2 0,4,5 1,2,3 0,1,5 0,1,3 1,2,5 0,1,2 1,3,5 ------------------------------------------------------------------------ T T - T T + T T , T T - T T 0,2,3 0,1,5 0,1,3 0,2,5 0,1,2 0,3,5 1,2,4 0,3,4 0,2,4 1,3,4 ------------------------------------------------------------------------ + T T , T T - T T + T T , T T 0,1,4 2,3,4 1,2,3 0,3,4 0,2,3 1,3,4 0,1,3 2,3,4 1,2,3 0,2,4 ------------------------------------------------------------------------ - T T + T T , T T - T T + 0,2,3 1,2,4 0,1,2 2,3,4 1,2,3 0,1,4 0,1,3 1,2,4 ------------------------------------------------------------------------ T T , T T - T T + T T ) 0,1,2 1,3,4 0,2,3 0,1,4 0,1,3 0,2,4 0,1,2 0,3,4 ZZ o2 : Ideal of --[T ..T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T ] 31 0,1,2 0,1,3 0,2,3 1,2,3 0,1,4 0,2,4 1,2,4 0,3,4 1,3,4 2,3,4 0,1,5 0,2,5 1,2,5 0,3,5 1,3,5 2,3,5 0,4,5 1,4,5 2,4,5 3,4,5
The variables of the ring are based on the symbol provided, but assignments are not made until the ring or the ideal is assigned to a global variable or is submitted to use, as follows.
 i3 : T_(0,2,3) o3 = T 0,2,3 o3 : IndexedVariable i4 : use ring J ZZ o4 = --[T ..T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T ] 31 0,1,2 0,1,3 0,2,3 1,2,3 0,1,4 0,2,4 1,2,4 0,3,4 1,3,4 2,3,4 0,1,5 0,2,5 1,2,5 0,3,5 1,3,5 2,3,5 0,4,5 1,4,5 2,4,5 3,4,5 o4 : PolynomialRing i5 : T_(0,2,3) o5 = T 0,2,3 ZZ o5 : --[T ..T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T , T ] 31 0,1,2 0,1,3 0,2,3 1,2,3 0,1,4 0,2,4 1,2,4 0,3,4 1,3,4 2,3,4 0,1,5 0,2,5 1,2,5 0,3,5 1,3,5 2,3,5 0,4,5 1,4,5 2,4,5 3,4,5
In many ways, more natural than returning an ideal would be to return the corresponding quotient ring or variety, but creating a quotient ring involves computing a Gröbner basis, which might impose a heavy computational burden that the user would prefer to avoid.