Alternatively, one can apply the method directly to the list of Laurent polynomials $f_0,\ldots,f_n$. In this case, the matrices $A_0,\ldots,A_n$ are automatically determined by exponentsMatrix. If you want require that $A_0=\cdots=A_n$, then use the option Unmixed=>true (this could be faster). Below we consider some examples.
In the first example, we calculate the sparse (mixed) resultant associated to the three sets of monomials $(1,x y,x^2 y,x),(y,x^2 y^2,x^2 y,x),(1,y,x y,x)$. Then we evaluate it at the three polynomials $f = c_{(1,1)}+c_{(1,2)} x y+c_{(1,3)} x^2 y+c_{(1,4)} x, g = c_{(2,1)} y+c_{(2,2)} x^2 y^2+c_{(2,3)} x^2 y+c_{(2,4)} x, h = c_{(3,1)}+c_{(3,2)} y+c_{(3,3)} x y+c_{(3,4)} x$.
i1 : time Res = sparseResultant(matrix{{0,1,1,2},{0,0,1,1}},matrix{{0,1,2,2},{1,0,1,2}},matrix{{0,0,1,1},{0,1,0,1}})
-- used 0.532965 seconds
o1 = Res
o1 : SparseResultant (sparse mixed resultant associated to {| 0 1 1 2 |, | 0 1 2 2 |, | 0 0 1 1 |})
| 0 0 1 1 | | 1 0 1 2 | | 0 1 0 1 |
|
i2 : QQ[c_(1,1)..c_(3,4)][x,y]; |
i3 : (f,g,h) = (c_(1,1)+c_(1,2)*x*y+c_(1,3)*x^2*y+c_(1,4)*x, c_(2,1)*y+c_(2,2)*x^2*y^2+c_(2,3)*x^2*y+c_(2,4)*x, c_(3,1)+c_(3,2)*y+c_(3,3)*x*y+c_(3,4)*x)
2 2 2 2
o3 = (c x y + c x*y + c x + c , c x y + c x y + c x + c y,
1,3 1,2 1,4 1,1 2,2 2,3 2,4 2,1
------------------------------------------------------------------------
c x*y + c x + c y + c )
3,3 3,4 3,2 3,1
o3 : Sequence
|
i4 : time Res(f,g,h)
-- used 0.0078913 seconds
2 4 2 2 4
o4 = - c c c c c c c + c c c c c c +
1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1
------------------------------------------------------------------------
3 2 3 2 3
c c c c c c - 2c c c c c c c c +
1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2
------------------------------------------------------------------------
2 3 2 2 3
2c c c c c c c c + c c c c c c c +
1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 4 2 3
c c c c c c c - c c c c c +
1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2
------------------------------------------------------------------------
3 3 2 3
2c c c c c c c - 2c c c c c c c c -
1,1 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 3 2 2 3
c c c c c c - c c c c c c c -
1,1 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2 2 2
c c c c c c c + 2c c c c c c c -
1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2 2
2c c c c c c c - 2c c c c c c c +
1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 3 2 2
c c c c c c c - 2c c c c c c c +
1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 1,1 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2
3c c c c c c c c + 2c c c c c c c +
1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 1,1 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2 2 2
c c c c c c c c c - c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 3 2 3
c c c c c c c + c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2
------------------------------------------------------------------------
2 3 3 2 2 3
c c c c c c - 2c c c c c c c -
1,1 1,3 1,4 2,3 3,1 3,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2
------------------------------------------------------------------------
2 3 2 2 2 3
c c c c c c c c - c c c c c c -
1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 1,1 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2
------------------------------------------------------------------------
2 3 3 2 3
c c c c c c c c + c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,1 3,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2 2 3
c c c c c c c + c c c c c c c +
1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2
------------------------------------------------------------------------
2 2 4 2 2 4 3 3 4
c c c c c c - 2c c c c c c + c c c c
1,1 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2 1,1 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2 1,1 1,3 2,4 3,2
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 3
- c c c c c c c + c c c c c c c c c +
1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 3 2 3
c c c c c c c - c c c c c c +
1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3
------------------------------------------------------------------------
3 2 3 2 3
c c c c c c - c c c c c c c c -
1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 3 3 3
c c c c c c c c + c c c c c c c -
1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
2c c c c c c c + 3c c c c c c c c c -
1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2 2
2c c c c c c c c - c c c c c c c -
1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
4c c c c c c c c c + 2c c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 3 2 2
c c c c c c c c + 2c c c c c c c -
1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2
3c c c c c c c c c +
1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2
2c c c c c c c c c + c c c c c c c c
1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2
+ 4c c c c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2
4c c c c c c c c c -
1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
c c c c c c c c c + 2c c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
4 2 3 2 2
c c c c c c c - c c c c c c c +
1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 3 2
c c c c c c c - c c c c c c c -
1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,4 2,3 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2
c c c c c c c c - 3c c c c c c c c c
1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2
+ 3c c c c c c c c c +
1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2
2c c c c c c c c c -
1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2
c c c c c c c c c + c c c c c c c c
1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 3 2 2
+ c c c c c c c c + 3c c c c c c c -
1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2
2c c c c c c c c - 3c c c c c c c +
1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2
c c c c c c c c c - c c c c c c c c
1,1 1,2 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
3 3 2 2 3
+ c c c c c c c - c c c c c c c -
1,1 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2 2 3
c c c c c c c - c c c c c c c +
1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 3 2 3
c c c c c c + 3c c c c c c c c -
1,1 1,3 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 3 3 2 2 2 2
2c c c c c c + 2c c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 2,4 3,2 3,3 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2
c c c c c c c c + 2c c c c c c c -
1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
2c c c c c c c + c c c c c c c c c -
1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,3 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 3 2 2
2c c c c c c c c + c c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 3 2 2
c c c c c c + c c c c c c c -
1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2
c c c c c c c c + c c c c c c c c -
1,1 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2 2 2
c c c c c c c - c c c c c c c +
1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2
c c c c c c c c c - c c c c c c c c
1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2
+ 5c c c c c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 3 2
c c c c c c c c + c c c c c c c c -
1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2
c c c c c c c c c - 5c c c c c c c c
1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
+ c c c c c c c c + c c c c c c c c +
1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2
c c c c c c c c - 2c c c c c c c +
1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2 2
c c c c c c c - c c c c c c c +
1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,1 2,4 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2 2
2c c c c c c c - c c c c c c c -
1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 3 2 2
c c c c c c c + c c c c c c -
1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,4 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
3 2 3 2 2 3
c c c c c c - c c c c c c c +
1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2 3
c c c c c c c + c c c c c c c c -
1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,3 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 3 2 2 3
2c c c c c c c c + 2c c c c c c c -
1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 3 2 3
c c c c c c c c - c c c c c c c c +
1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
3 3 2 2 2 3
c c c c c c c + c c c c c c +
1,1 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 3 3 2 3
c c c c c c c c - c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,2 3,3 1,1 1,3 2,2 2,4 3,2 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 4 2 2 4
c c c c c c c - c c c c c c -
1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,3 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 3 2 3
c c c c c c + c c c c c c c c +
1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 3 3 3
c c c c c c c - 2c c c c c c c +
1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,4 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2
c c c c c c c - 2c c c c c c c c +
1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2 3 2
2c c c c c c c + c c c c c c -
1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,1 1,4 2,2 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2 2
c c c c c c c + 2c c c c c c c c -
1,1 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2
c c c c c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 3 2 2
2c c c c c c c c - c c c c c c c -
1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
c c c c c c c c - c c c c c c c c +
1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2
c c c c c c c - 3c c c c c c c c c +
1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2
5c c c c c c c c c +
1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 3 2
2c c c c c c c c + c c c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
4 2 2 2 2 2 2
c c c c c c + 2c c c c c c c +
1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2 2
c c c c c c c c - c c c c c c c -
1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
2c c c c c c c + 4c c c c c c c c c +
1,1 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2 2
2c c c c c c c + c c c c c c c c -
1,1 1,3 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2
2c c c c c c c + 3c c c c c c c c c -
1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2
3c c c c c c c c c - c c c c c c c c
1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2
+ c c c c c c c c -
1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2
c c c c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2
c c c c c c c c c -
1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2
4c c c c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2
c c c c c c c c c + 2c c c c c c c c
1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 3 3 3
- c c c c c c c - c c c c c -
1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,4 1,1 1,3 2,3 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 3 2 3
c c c c c c + 4c c c c c c c c -
1,1 1,4 2,2 2,4 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 3 2 3
c c c c c c c c + c c c c c c c c +
1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 3 2 3
2c c c c c c c - 3c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,4 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 3 2 3
3c c c c c c - 3c c c c c c c c -
1,1 1,3 2,2 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 1,4 2,2 2,4 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2 2 2
c c c c c c c - c c c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,2 3,4 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
c c c c c c c c + c c c c c c c c -
1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2
c c c c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2 2
4c c c c c c c c c + c c c c c c c -
1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
c c c c c c c + 5c c c c c c c c c -
1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 4 2
c c c c c c c c - c c c c c c c -
1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4 1,2 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 3 2
c c c c c c c c + c c c c c c c c +
1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2
4c c c c c c c c c -
1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2
4c c c c c c c c c -
1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2
7c c c c c c c c c c +
1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2
5c c c c c c c c c c +
1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2
3c c c c c c c c +
1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2
4c c c c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2
4c c c c c c c c c - c c c c c c c c
1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2
- 3c c c c c c c c +
1,1 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2
3c c c c c c c c c +
1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2
6c c c c c c c c c -
1,1 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
8c c c c c c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2
c c c c c c c c c - 3c c c c c c c c
1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2
+ c c c c c c c c c -
1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2
c c c c c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3
c c c c c c c c c +
1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2
c c c c c c c c c - c c c c c c c c
1,1 1,2 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 3 2 2
+ c c c c c c c c - c c c c c c c +
1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,4 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 3 2 2 2 2 2
c c c c c c + 2c c c c c c c +
1,1 1,2 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2
c c c c c c c c -
1,1 1,3 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2
7c c c c c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2
c c c c c c c c + 2c c c c c c c c c
1,1 1,3 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2
- 2c c c c c c c + 5c c c c c c c c -
1,1 1,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
c c c c c c c c + c c c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 3 2 2
c c c c c c c + c c c c c c c -
1,1 1,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
4c c c c c c c c c + 2c c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
3c c c c c c c c c - 2c c c c c c c +
1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
3c c c c c c c c - c c c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 3,4 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2
3c c c c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2
2c c c c c c c c c +
1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2
2c c c c c c c c - c c c c c c c c +
1,1 1,2 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 3 2 2
c c c c c c c c - c c c c c c c +
1,1 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
4 2 2 2 2 2
c c c c c c + c c c c c c c c +
1,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2 2
c c c c c c c c c - c c c c c c c +
1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2
3c c c c c c c c c - c c c c c c c c
1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 3
- 2c c c c c c c c + c c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 3 2 3
c c c c c c - c c c c c c c c -
1,1 1,2 2,1 2,3 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 3 2 2 3
c c c c c c c c - c c c c c c c -
1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,3 2,4 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2 2
c c c c c c c + 2c c c c c c c -
1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 4 2 2
c c c c c c c + c c c c c c +
1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,1 3,4 1,2 2,1 2,2 2,4 3,1 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 3 2 2 2 2
c c c c c c - 4c c c c c c c c +
1,3 1,4 2,1 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
3c c c c c c c c + 5c c c c c c c c -
1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 3 3 2
5c c c c c c c c - 2c c c c c c +
1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,1 1,4 2,2 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2
c c c c c c c c - c c c c c c c c c
1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2 2
+ 4c c c c c c c c c + c c c c c c c -
1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2
3c c c c c c c c c - c c c c c c c c
1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 3 2 2 2
- c c c c c c c + c c c c c c -
1,1 1,2 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,4 2,1 2,2 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2
2c c c c c c c + c c c c c c c c -
1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 3 2 2 2
c c c c c c c c + c c c c c c -
1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,4 1,1 1,4 2,2 2,3 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 3 2 2 2
2c c c c c c c - c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,2 3,4 1,1 1,2 2,2 2,3 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2 2 2 2
3c c c c c c - 6c c c c c c c +
1,1 1,3 2,1 2,4 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,2 2,4 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2 2 2
6c c c c c c c c c + 3c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,2 3,4 1,1 1,3 2,2 2,4 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2
3c c c c c c c + 2c c c c c c c c +
1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 3 2 2 2
2c c c c c c c - c c c c c c -
1,1 1,2 2,2 2,3 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 2,2 2,4 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 3 2 2 2
c c c c c c c + 3c c c c c c c c c -
1,2 1,3 1,4 2,1 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2
2c c c c c c c - 2c c c c c c c c -
1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2 2
c c c c c c c + 3c c c c c c c c -
1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2
2c c c c c c c c + c c c c c c c c -
1,1 1,2 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2 2
c c c c c c c - 2c c c c c c c +
1,1 1,4 2,1 2,2 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2
4c c c c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2
4c c c c c c c c -
1,1 1,3 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 4 2 2
3c c c c c c c c c - 2c c c c c c +
1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2
2c c c c c c c - 4c c c c c c c c +
1,1 1,2 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2
3c c c c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2 2
3c c c c c c c c c + c c c c c c c -
1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2 2
2c c c c c c c c - c c c c c c c +
1,1 1,2 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2 2
2c c c c c c c - 2c c c c c c c -
1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 2 2 2 2 2
2c c c c c c c + c c c c c c c +
1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 3
c c c c c c c + c c c c c c c +
1,1 1,2 2,1 2,2 2,4 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 3,1 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 3 2 2 2 3
c c c c c c - c c c c c c -
1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 3,1 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 3 3 2 2 2 3
c c c c c + 3c c c c c c -
1,1 1,3 2,1 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,2 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 3 3 2 3
3c c c c c c c c - 3c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,2 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 4 3 3
3c c c c c c c + c c c c -
1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,2 3,4 1,1 2,2 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2 2 3
c c c c c c c - 2c c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,2 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,2 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 3 2 3 3
2c c c c c c c + c c c c c c -
1,1 1,2 2,1 2,2 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
2 2 3 2 2 3
2c c c c c c c + 2c c c c c c c +
1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 3 3 2 3
c c c c c c + c c c c c c -
1,1 1,2 2,1 2,2 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,3 3,3 3,4
------------------------------------------------------------------------
3 2 4
c c c c c
1,1 1,2 2,1 2,2 3,4
o4 : QQ[c ..c ]
1,1 3,4
|
i5 : assert(Res(f,g,h) == sparseResultant(f,g,h)) |
In the second example, we calculate the sparse unmixed resultant associated to the set of monomials $(1,x,y,xy)$. Then we evaluate it at the three polynomials $f = a_0 + a_1 x + a_2 y + a_3 x y, g = b_0 + b_1 x + b_2 y + b_3 x y, h = c_0 + c_1 x + c_2 y + c_3 x y$. Moreover, we perform all the computation over $\mathbb{Z}/3331$.
i6 : time Res = sparseResultant(matrix{{0,0,1,1},{0,1,0,1}},CoefficientRing=>ZZ/3331);
-- used 0.0294553 seconds
o6 : SparseResultant (sparse unmixed resultant associated to | 0 0 1 1 | over ZZ/3331)
| 0 1 0 1 |
|
i7 : ZZ/3331[a_0..a_3,b_0..b_3,c_0..c_3][x,y]; |
i8 : (f,g,h) = (a_0 + a_1*x + a_2*y + a_3*x*y, b_0 + b_1*x + b_2*y + b_3*x*y, c_0 + c_1*x + c_2*y + c_3*x*y)
o8 = (a x*y + a x + a y + a , b x*y + b x + b y + b , c x*y + c x + c y + c )
3 1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0
o8 : Sequence
|
i9 : time Res(f,g,h)
-- used 0.00310082 seconds
2 2 2 2 2 2 2
o9 = a b b c - a a b b c - a a b b c + a a b c - a b b c c -
3 1 2 0 2 3 1 3 0 1 3 2 3 0 1 2 3 0 3 0 2 0 1
------------------------------------------------------------------------
2 2
a a b b c c + a a b c c + a a b b c c + a b b c c - a a b b c c +
2 3 1 2 0 1 1 3 2 0 1 2 3 0 3 0 1 2 1 3 0 1 1 2 2 3 0 1
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2
a a b b c c - a a b c c + a a b b c - a a b c - a b b c +
0 3 2 3 0 1 0 2 3 0 1 2 3 0 2 1 0 3 2 1 2 0 3 1
------------------------------------------------------------------------
2 2 2
a a b b c - a b b c c + a a b c c - a a b b c c + a a b b c c -
0 2 2 3 1 3 0 1 0 2 2 3 1 0 2 1 3 1 2 0 2 1 3 0 3 0 2
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2
a a b b c c + a a b b c c + a b b c c - a a b c c + a b c c -
1 2 1 3 0 2 0 3 1 3 0 2 1 2 3 0 2 0 1 3 0 2 3 0 1 2
------------------------------------------------------------------------
a a b b c c - a a b b c c + 2a a b b c c + 2a a b b c c -
2 3 0 1 1 2 1 3 0 2 1 2 0 3 1 2 1 2 1 2 0 3 1 2
------------------------------------------------------------------------
2 2 2
2a a b b c c - a a b b c c - a a b b c c + a b c c + a a b b c -
0 3 0 3 1 2 0 2 1 3 1 2 0 1 2 3 1 2 0 3 1 2 1 3 0 1 2
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2 2 2 2
a a b c - a b b c + a a b b c + a a b b c c - a b c c +
0 3 1 2 1 0 3 2 0 1 1 3 2 2 3 0 1 0 3 2 1 0 3
------------------------------------------------------------------------
2 2
a a b b c c + 2a a b b c c - 2a a b b c c - a b c c - 2a a b b c c
1 3 0 2 0 3 1 2 1 2 0 3 0 3 1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 3 0 3
------------------------------------------------------------------------
2 2
+ a a b b c c + a a b b c c - a a b c c + a b b c c - a a b b c c +
0 2 1 3 0 3 0 1 2 3 0 3 2 3 0 1 3 2 0 1 1 3 1 2 0 2 1 3
------------------------------------------------------------------------
2 2
a a b b c c - a a b b c c + a a b c c + a a b b c c - a b b c c -
0 3 0 2 1 3 0 2 1 2 1 3 0 1 2 1 3 0 2 0 3 1 3 0 2 3 1 3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2
a a b c c - a a b b c c + a a b b c c + a a b c c + a b b c c -
1 3 0 2 3 1 2 0 1 2 3 0 3 0 1 2 3 0 2 1 2 3 1 0 2 2 3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2
a a b b c c + a a b b c c - a b b c c + a a b c - a a b b c -
0 1 1 2 2 3 0 1 0 3 2 3 0 1 3 2 3 1 2 0 3 0 2 0 1 3
------------------------------------------------------------------------
2 2 2
a a b b c + a b b c
0 1 0 2 3 0 1 2 3
ZZ
o9 : ----[a ..c ]
3331 0 3
|
i10 : assert(Res(f,g,h) == sparseResultant(f,g,h)) |
In the third and last example, we compare the sparse mixed resultant and the sparse unmixed resultant of three generic polynomials of degrees 1,2,2 in two variables.
i11 : (f,g,h) = genericLaurentPolynomials(1,2,2)
2 2 2
o11 = (a x + a x + a , b x + b x x + b x + b x + b x + b , c x +
2 1 1 2 0 5 1 4 1 2 2 2 3 1 1 2 0 5 1
-----------------------------------------------------------------------
2
c x x + c x + c x + c x + c )
4 1 2 2 2 3 1 1 2 0
o11 : Sequence
|
i12 : time (MixedRes,UnmixedRes) = (sparseResultant(f,g,h),sparseResultant(f,g,h,Unmixed=>true));
-- used 1.06446 seconds
|
i13 : quotientRemainder(UnmixedRes,MixedRes)
2 2 2 2 2 2
o13 = (b c - b b c c + b b c + b c c - 2b b c c - b b c c + b c , 0)
5 2 4 5 2 4 2 5 4 4 2 5 2 5 2 5 2 4 4 5 2 5
o13 : Sequence
|
i14 : assert((denseResultant(2,2,2))(f,g,h) == UnmixedRes and (denseResultant(1,2,2))(f,g,h) == MixedRes) |
The object sparseResultant is a method function with a single argument.