This is the same as tangentialChowForm(I,0), see tangentialChowForm. Below, we compute the Chow form of the Veronese surface and then we compare it with the resultant of three ternary quadrics.
i1 : -- Veronese surface in P^5
f = veronese(2,2,ZZ/3331); V = kernel f
ZZ ZZ
o1 : RingMap ----[t ..t ] <--- ----[x ..x ]
3331 0 2 3331 0 5
2 2 2
o2 = ideal (x - x x , x x - x x , x x - x x , x - x x , x x - x x , x -
4 3 5 2 4 1 5 2 3 1 4 2 0 5 1 2 0 4 1
------------------------------------------------------------------------
x x )
0 3
ZZ
o2 : Ideal of ----[x ..x ]
3331 0 5
|
i3 : -- Chow form of V in Grass(2,5) (performing internal computations on an affine chart of the Grassmannian)
time ChowV = chowForm(V,AffineChartGrass=>{1,2,3})
-- used 13.38 seconds
4 2 2 2 2
o3 = x + 2x x x + x x - 2x x x +
1,2,4 0,2,4 1,2,4 2,3,4 0,2,4 2,3,4 1,2,3 1,2,4 1,2,5
------------------------------------------------------------------------
2 2 2
x x - x x x + x x x x +
1,2,3 1,2,5 0,2,4 1,2,4 1,3,5 0,2,3 1,2,4 1,2,5 1,3,5
------------------------------------------------------------------------
2 2
x x x x - x x x - 3x x x -
0,1,4 1,2,4 1,2,5 1,3,5 0,1,3 1,2,5 1,3,5 0,2,3 1,2,4 2,3,5
------------------------------------------------------------------------
2 2
x x x - x x x - x x x x -
0,1,4 1,2,4 2,3,5 0,2,4 1,3,4 2,3,5 0,2,3 0,2,4 2,3,4 2,3,5
------------------------------------------------------------------------
x x x x + 2x x x x +
0,1,4 0,2,4 2,3,4 2,3,5 0,1,2 1,2,4 2,3,4 2,3,5
------------------------------------------------------------------------
x x x x + x x x x +
0,2,3 1,2,3 1,2,5 2,3,5 0,1,3 1,2,4 1,2,5 2,3,5
------------------------------------------------------------------------
x x x x + x x x x -
0,2,3 0,2,4 1,3,5 2,3,5 0,1,4 0,2,4 1,3,5 2,3,5
------------------------------------------------------------------------
2 2
x x x x - x x x + x x x +
0,1,3 0,2,5 1,3,5 2,3,5 0,1,2 1,2,3 2,3,5 0,1,3 0,2,4 2,3,5
------------------------------------------------------------------------
2 2 2
2x x x - 2x x x + x x x -
0,2,3 1,2,4 1,4,5 0,1,4 1,2,4 1,4,5 0,2,4 1,3,4 1,4,5
------------------------------------------------------------------------
2x x x x + 2x x x x -
0,2,3 1,2,3 1,2,5 1,4,5 0,1,3 1,2,4 1,2,5 1,4,5
------------------------------------------------------------------------
x x x x - x x x x +
0,2,3 0,2,4 1,3,5 1,4,5 0,1,4 0,2,4 1,3,5 1,4,5
------------------------------------------------------------------------
2 2
x x x x + x x x x + x x -
0,1,2 1,2,4 1,3,5 1,4,5 0,1,3 0,2,5 1,3,5 1,4,5 0,2,3 1,4,5
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2
2x x x + x x - 2x x x -
0,1,2 1,2,3 1,4,5 0,1,4 1,4,5 0,1,2 0,3,4 1,4,5
------------------------------------------------------------------------
2 2
x x x + 2x x x x + 2x x x -
0,1,3 0,1,5 1,4,5 0,2,3 1,2,3 1,2,4 2,4,5 0,1,3 1,2,4 2,4,5
------------------------------------------------------------------------
2
8x x x x + x x x +
0,1,2 1,2,4 1,3,4 2,4,5 0,2,3 2,3,4 2,4,5
------------------------------------------------------------------------
2
2x x x x + x x x -
0,1,2 1,2,3 2,3,4 2,4,5 0,1,4 2,3,4 2,4,5
------------------------------------------------------------------------
2x x x x - 2x x x x -
0,1,2 0,3,4 2,3,4 2,4,5 0,1,3 1,2,3 1,2,5 2,4,5
------------------------------------------------------------------------
2 2
x x x + 2x x x x - x x x +
0,2,3 1,3,5 2,4,5 0,1,2 1,2,3 1,3,5 2,4,5 0,1,4 1,3,5 2,4,5
------------------------------------------------------------------------
2x x x x + x x x x -
0,1,2 0,3,4 1,3,5 2,4,5 0,1,3 0,1,5 1,3,5 2,4,5
------------------------------------------------------------------------
2 2
x x x x - x x x x + x x -
0,1,3 0,2,3 2,3,5 2,4,5 0,1,3 0,1,4 2,3,5 2,4,5 0,1,3 2,4,5
------------------------------------------------------------------------
x x x x + 3x x x x +
0,2,3 0,2,4 1,2,4 3,4,5 0,1,4 0,2,4 1,2,4 3,4,5
------------------------------------------------------------------------
2 2
3x x x - x x x + 2x x x x +
0,1,2 1,2,4 3,4,5 0,2,4 0,3,4 3,4,5 0,1,2 0,2,4 2,3,4 3,4,5
------------------------------------------------------------------------
2 2
2x x x - x x x - 3x x x x +
0,2,3 1,2,5 3,4,5 0,1,4 1,2,5 3,4,5 0,1,3 0,2,4 1,2,5 3,4,5
------------------------------------------------------------------------
x x x x + x x x x +
0,1,3 0,1,5 1,2,5 3,4,5 0,2,3 0,2,4 0,3,5 3,4,5
------------------------------------------------------------------------
x x x x - x x x x -
0,1,4 0,2,4 0,3,5 3,4,5 0,1,3 0,2,5 0,3,5 3,4,5
------------------------------------------------------------------------
2x x x x - x x x x -
0,1,2 0,2,3 2,3,5 3,4,5 0,1,2 0,1,4 2,3,5 3,4,5
------------------------------------------------------------------------
2 2
x x x - x x x + 2x x x x +
0,2,3 0,4,5 3,4,5 0,1,4 0,4,5 3,4,5 0,1,2 0,3,4 0,4,5 3,4,5
------------------------------------------------------------------------
x x x x + 2x x x x +
0,1,3 0,1,5 0,4,5 3,4,5 0,1,2 0,2,3 1,4,5 3,4,5
------------------------------------------------------------------------
2 2
x x x x + x x x x + x x
0,1,2 0,1,4 1,4,5 3,4,5 0,1,2 0,1,3 2,4,5 3,4,5 0,1,2 3,4,5
ZZ
----[x ..x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x ]
3331 0,1,2 0,1,3 0,2,3 1,2,3 0,1,4 0,2,4 1,2,4 0,3,4 1,3,4 2,3,4 0,1,5 0,2,5 1,2,5 0,3,5 1,3,5 2,3,5 0,4,5 1,4,5 2,4,5 3,4,5
o3 : -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x - x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x + x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x - x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x , x x - x x + x x )
2,3,5 1,4,5 1,3,5 2,4,5 1,2,5 3,4,5 2,3,4 1,4,5 1,3,4 2,4,5 1,2,4 3,4,5 2,3,5 0,4,5 0,3,5 2,4,5 0,2,5 3,4,5 1,3,5 0,4,5 0,3,5 1,4,5 0,1,5 3,4,5 1,2,5 0,4,5 0,2,5 1,4,5 0,1,5 2,4,5 2,3,4 0,4,5 0,3,4 2,4,5 0,2,4 3,4,5 1,3,4 0,4,5 0,3,4 1,4,5 0,1,4 3,4,5 1,2,4 0,4,5 0,2,4 1,4,5 0,1,4 2,4,5 1,2,3 0,4,5 0,2,3 1,4,5 0,1,3 2,4,5 0,1,2 3,4,5 2,3,4 1,3,5 1,3,4 2,3,5 1,2,3 3,4,5 1,2,5 0,3,5 0,2,5 1,3,5 0,1,5 2,3,5 2,3,4 0,3,5 0,3,4 2,3,5 0,2,3 3,4,5 1,3,4 0,3,5 0,3,4 1,3,5 0,1,3 3,4,5 1,2,4 0,3,5 0,2,4 1,3,5 0,1,4 2,3,5 0,1,2 3,4,5 1,2,3 0,3,5 0,2,3 1,3,5 0,1,3 2,3,5 2,3,4 1,2,5 1,2,4 2,3,5 1,2,3 2,4,5 1,3,4 1,2,5 1,2,4 1,3,5 1,2,3 1,4,5 0,3,4 1,2,5 0,2,4 1,3,5 0,1,4 2,3,5 0,2,3 1,4,5 0,1,3 2,4,5 0,1,2 3,4,5 2,3,4 0,2,5 0,2,4 2,3,5 0,2,3 2,4,5 1,3,4 0,2,5 0,2,4 1,3,5 0,2,3 1,4,5 0,1,2 3,4,5 0,3,4 0,2,5 0,2,4 0,3,5 0,2,3 0,4,5 1,2,4 0,2,5 0,2,4 1,2,5 0,1,2 2,4,5 1,2,3 0,2,5 0,2,3 1,2,5 0,1,2 2,3,5 2,3,4 0,1,5 0,1,4 2,3,5 0,1,3 2,4,5 0,1,2 3,4,5 1,3,4 0,1,5 0,1,4 1,3,5 0,1,3 1,4,5 0,3,4 0,1,5 0,1,4 0,3,5 0,1,3 0,4,5 1,2,4 0,1,5 0,1,4 1,2,5 0,1,2 1,4,5 0,2,4 0,1,5 0,1,4 0,2,5 0,1,2 0,4,5 1,2,3 0,1,5 0,1,3 1,2,5 0,1,2 1,3,5 0,2,3 0,1,5 0,1,3 0,2,5 0,1,2 0,3,5 1,2,4 0,3,4 0,2,4 1,3,4 0,1,4 2,3,4 1,2,3 0,3,4 0,2,3 1,3,4 0,1,3 2,3,4 1,2,3 0,2,4 0,2,3 1,2,4 0,1,2 2,3,4 1,2,3 0,1,4 0,1,3 1,2,4 0,1,2 1,3,4 0,2,3 0,1,4 0,1,3 0,2,4 0,1,2 0,3,4
|
i4 : -- equivalently (but faster)...
time assert(ChowV === chowForm f)
-- used 3.01694 seconds
|
i5 : -- X-resultant of V
time Xres = fromPluckerToStiefel dualize ChowV;
-- used 0.720602 seconds
|
i6 : -- three generic ternary quadrics
F = genericPolynomials({2,2,2},ZZ/3331)
2 2 2 2 2
o6 = {a x + a x x + a x + a x x + a x x + a x , b x + b x x + b x +
0 0 1 0 1 3 1 2 0 2 4 1 2 5 2 0 0 1 0 1 3 1
------------------------------------------------------------------------
2 2 2 2
b x x + b x x + b x , c x + c x x + c x + c x x + c x x + c x }
2 0 2 4 1 2 5 2 0 0 1 0 1 3 1 2 0 2 4 1 2 5 2
o6 : List
|
i7 : -- resultant of the three forms
time resF = resultant F;
-- used 0.475122 seconds
|
i8 : assert(resF === sub(Xres,vars ring resF) and Xres === sub(resF,vars ring Xres)) |
The object chowForm is a method function with options.