# Filtered complexes and simplicial complexes

We can make a filtered complex from a nested list of simplicial complexes:

 i1 : A = QQ[x,y,z,w]; i2 : F2D = simplicialComplex {x*y*z, w*z}; i3 : F1D = simplicialComplex {x*y, w}; i4 : F0D = simplicialComplex {x,w}; i5 : K = filteredComplex{F2D, F1D, F0D} o5 = -1 : image 0 <-- image 0 <-- image 0 <-- image 0 -1 0 1 2 0 : image | 1 | <-- image | 1 0 | <-- image 0 <-- image 0 | 0 0 | -1 | 0 0 | 1 2 | 0 1 | 0 1 : image | 1 | <-- image | 1 0 0 | <-- image | 1 | <-- image 0 | 0 1 0 | | 0 | -1 | 0 0 0 | | 0 | 2 | 0 0 1 | | 0 | 0 1 1 4 4 1 2 : QQ <-- QQ <-- QQ <-- QQ -1 0 1 2 o5 : FilteredComplex

The resulting spectral sequence takes the form:

 i6 : E = prune spectralSequence K; i7 : E^0 +-------+-------+-------+ | 2 | 1 | 1 | o7 = |QQ |QQ |QQ | | | | | |{0, 0} |{1, 0} |{2, 0} | +-------+-------+-------+ | 1 | 1 | 3 | |QQ |QQ |QQ | | | | | |{0, -1}|{1, -1}|{2, -1}| +-------+-------+-------+ | | | 1 | |0 |0 |QQ | | | | | |{0, -2}|{1, -2}|{2, -2}| +-------+-------+-------+ o7 : SpectralSequencePage i8 : E^0 .dd o8 = {-1, 0} : 0 <----- 0 : {-1, 1} 0 {-1, 1} : 0 <----- 0 : {-1, 2} 0 {-1, 2} : 0 <----- 0 : {-1, 3} 0 {2, -4} : 0 <----- 0 : {2, -3} 0 1 {2, -3} : 0 <----- QQ : {2, -2} 0 1 3 {2, -2} : QQ <--------------- QQ : {2, -1} | -1 -1 1 | 3 1 {2, -1} : QQ <---------- QQ : {2, 0} | 1 | | -1 | | 0 | {1, -3} : 0 <----- 0 : {1, -2} 0 1 {1, -2} : 0 <----- QQ : {1, -1} 0 1 1 {1, -1} : QQ <---------- QQ : {1, 0} | -1 | 1 {1, 0} : QQ <----- 0 : {1, 1} 0 1 {0, -2} : 0 <----- QQ : {0, -1} 0 1 2 {0, -1} : QQ <------------- QQ : {0, 0} | -1 -1 | 2 {0, 0} : QQ <----- 0 : {0, 1} 0 {0, 1} : 0 <----- 0 : {0, 2} 0 {-1, -1} : 0 <----- 0 : {-1, 0} 0 o8 : SpectralSequencePageMap i9 : E^1 +-------+-------+-------+ | 1 | | | o9 = |QQ |0 |0 | | | | | |{0, 0} |{1, 0} |{2, 0} | +-------+-------+-------+ | | | 1 | |0 |0 |QQ | | | | | |{0, -1}|{1, -1}|{2, -1}| +-------+-------+-------+ o9 : SpectralSequencePage i10 : E^1 .dd o10 = {-2, 1} : 0 <----- 0 : {-1, 1} 0 {-2, 2} : 0 <----- 0 : {-1, 2} 0 {-2, 3} : 0 <----- 0 : {-1, 3} 0 {1, -3} : 0 <----- 0 : {2, -3} 0 {1, -2} : 0 <----- 0 : {2, -2} 0 1 {1, -1} : 0 <----- QQ : {2, -1} 0 {1, 0} : 0 <----- 0 : {2, 0} 0 {0, -2} : 0 <----- 0 : {1, -2} 0 {0, -1} : 0 <----- 0 : {1, -1} 0 1 {0, 0} : QQ <----- 0 : {1, 0} 0 {0, 1} : 0 <----- 0 : {1, 1} 0 {-1, -1} : 0 <----- 0 : {0, -1} 0 1 {-1, 0} : 0 <----- QQ : {0, 0} 0 {-1, 1} : 0 <----- 0 : {0, 1} 0 {-1, 2} : 0 <----- 0 : {0, 2} 0 {-2, 0} : 0 <----- 0 : {-1, 0} 0 o10 : SpectralSequencePageMap i11 : E^2 +-------+-------+-------+ | 1 | | | o11 = |QQ |0 |0 | | | | | |{0, 0} |{1, 0} |{2, 0} | +-------+-------+-------+ | | | 1 | |0 |0 |QQ | | | | | |{0, -1}|{1, -1}|{2, -1}| +-------+-------+-------+ o11 : SpectralSequencePage i12 : E^2 .dd o12 = {-3, 2} : 0 <----- 0 : {-1, 1} 0 {-3, 3} : 0 <----- 0 : {-1, 2} 0 {-3, 4} : 0 <----- 0 : {-1, 3} 0 {0, -2} : 0 <----- 0 : {2, -3} 0 {0, -1} : 0 <----- 0 : {2, -2} 0 1 1 {0, 0} : QQ <---------- QQ : {2, -1} | -1 | {0, 1} : 0 <----- 0 : {2, 0} 0 {-1, -1} : 0 <----- 0 : {1, -2} 0 {-1, 0} : 0 <----- 0 : {1, -1} 0 {-1, 1} : 0 <----- 0 : {1, 0} 0 {-1, 2} : 0 <----- 0 : {1, 1} 0 {-2, 0} : 0 <----- 0 : {0, -1} 0 1 {-2, 1} : 0 <----- QQ : {0, 0} 0 {-2, 2} : 0 <----- 0 : {0, 1} 0 {-2, 3} : 0 <----- 0 : {0, 2} 0 {-3, 1} : 0 <----- 0 : {-1, 0} 0 o12 : SpectralSequencePageMap i13 : E^infinity o13 = ++ ++ o13 : Page

If we want the homology of the complex to be the non-reduced homology of the simpicial complex we set the ReducedHomology option to false:

 i14 : k = filteredComplex({F2D, F1D, F0D}, ReducedHomology => false) o14 = -1 : image 0 <-- image 0 <-- image 0 <-- image 0 -1 0 1 2 0 : image 0 <-- image | 1 0 | <-- image 0 <-- image 0 | 0 0 | -1 | 0 0 | 1 2 | 0 1 | 0 1 : image 0 <-- image | 1 0 0 | <-- image | 1 | <-- image 0 | 0 1 0 | | 0 | -1 | 0 0 0 | | 0 | 2 | 0 0 1 | | 0 | 0 1 4 4 1 2 : image 0 <-- QQ <-- QQ <-- QQ -1 0 1 2 o14 : FilteredComplex

The resulting spectral sequence takes the form:

 i15 : e = prune spectralSequence k; i16 : e^0 +-------+-------+-------+ | 2 | 1 | 1 | o16 = |QQ |QQ |QQ | | | | | |{0, 0} |{1, 0} |{2, 0} | +-------+-------+-------+ | | 1 | 3 | |0 |QQ |QQ | | | | | |{0, -1}|{1, -1}|{2, -1}| +-------+-------+-------+ | | | 1 | |0 |0 |QQ | | | | | |{0, -2}|{1, -2}|{2, -2}| +-------+-------+-------+ o16 : SpectralSequencePage i17 : e^0 .dd o17 = {-1, 0} : 0 <----- 0 : {-1, 1} 0 {-1, 1} : 0 <----- 0 : {-1, 2} 0 {-1, 2} : 0 <----- 0 : {-1, 3} 0 {2, -4} : 0 <----- 0 : {2, -3} 0 1 {2, -3} : 0 <----- QQ : {2, -2} 0 1 3 {2, -2} : QQ <--------------- QQ : {2, -1} | -1 -1 1 | 3 1 {2, -1} : QQ <---------- QQ : {2, 0} | 1 | | -1 | | 0 | {1, -3} : 0 <----- 0 : {1, -2} 0 1 {1, -2} : 0 <----- QQ : {1, -1} 0 1 1 {1, -1} : QQ <---------- QQ : {1, 0} | -1 | 1 {1, 0} : QQ <----- 0 : {1, 1} 0 {0, -2} : 0 <----- 0 : {0, -1} 0 2 {0, -1} : 0 <----- QQ : {0, 0} 0 2 {0, 0} : QQ <----- 0 : {0, 1} 0 {0, 1} : 0 <----- 0 : {0, 2} 0 {-1, -1} : 0 <----- 0 : {-1, 0} 0 o17 : SpectralSequencePageMap i18 : e^1 .dd o18 = {-2, 1} : 0 <----- 0 : {-1, 1} 0 {-2, 2} : 0 <----- 0 : {-1, 2} 0 {-2, 3} : 0 <----- 0 : {-1, 3} 0 {1, -3} : 0 <----- 0 : {2, -3} 0 {1, -2} : 0 <----- 0 : {2, -2} 0 1 {1, -1} : 0 <----- QQ : {2, -1} 0 {1, 0} : 0 <----- 0 : {2, 0} 0 {0, -2} : 0 <----- 0 : {1, -2} 0 {0, -1} : 0 <----- 0 : {1, -1} 0 2 {0, 0} : QQ <----- 0 : {1, 0} 0 {0, 1} : 0 <----- 0 : {1, 1} 0 {-1, -1} : 0 <----- 0 : {0, -1} 0 2 {-1, 0} : 0 <----- QQ : {0, 0} 0 {-1, 1} : 0 <----- 0 : {0, 1} 0 {-1, 2} : 0 <----- 0 : {0, 2} 0 {-2, 0} : 0 <----- 0 : {-1, 0} 0 o18 : SpectralSequencePageMap i19 : e^2 +-------+-------+-------+ | 2 | | | o19 = |QQ |0 |0 | | | | | |{0, 0} |{1, 0} |{2, 0} | +-------+-------+-------+ | | | 1 | |0 |0 |QQ | | | | | |{0, -1}|{1, -1}|{2, -1}| +-------+-------+-------+ o19 : SpectralSequencePage i20 : e^2 .dd o20 = {-3, 2} : 0 <----- 0 : {-1, 1} 0 {-3, 3} : 0 <----- 0 : {-1, 2} 0 {-3, 4} : 0 <----- 0 : {-1, 3} 0 {0, -2} : 0 <----- 0 : {2, -3} 0 {0, -1} : 0 <----- 0 : {2, -2} 0 2 1 {0, 0} : QQ <---------- QQ : {2, -1} | 1 | | -1 | {0, 1} : 0 <----- 0 : {2, 0} 0 {-1, -1} : 0 <----- 0 : {1, -2} 0 {-1, 0} : 0 <----- 0 : {1, -1} 0 {-1, 1} : 0 <----- 0 : {1, 0} 0 {-1, 2} : 0 <----- 0 : {1, 1} 0 {-2, 0} : 0 <----- 0 : {0, -1} 0 2 {-2, 1} : 0 <----- QQ : {0, 0} 0 {-2, 2} : 0 <----- 0 : {0, 1} 0 {-2, 3} : 0 <----- 0 : {0, 2} 0 {-3, 1} : 0 <----- 0 : {-1, 0} 0 o20 : SpectralSequencePageMap i21 : e^infinity +------+ | 1 | o21 = |QQ | | | |{0, 0}| +------+ o21 : Page