# sparseResultant -- sparse resultant (A-resultant)

## Synopsis

• Usage:
sparseResultant A
• Inputs:
• A, , or a list of $n+1$ matrices $A_0,\ldots,A_n$ over $\mathbb{Z}$ and with $n$ rows to represent the exponent vectors of Laurent polynomials $f_0,\ldots,f_n$ in $n$ variables, $f_i = \sum_{\omega\in A_i} a_{i,\omega} x^{\omega}$. In the unmixed case, that is when $A_0=\cdots=A_n$, it is enough to pass just one of the matrices. Moreover, if one wants to perform computations only in characteristic $p>0$, then it is recommended to use the option CoefficientRing=>ZZ/p.
• Optional inputs:
• CoefficientRing => ..., default value ZZ
• Unmixed => ..., default value null
• Outputs:
• an instance of the type SparseResultant, the universal sparse resultant associated to $A$, that is, a function that to a sequence (or a list, or a row matrix) of $n+1$ Laurent polynomials $f_0,\ldots,f_n$ in $n$ variables over a coefficient ring $K$, involving only monomials from $A$, associates the sparse resultant of the polynomials $f_0,\ldots,f_n$, which is an element of $K$.

## Description

Alternatively, one can apply the method directly to the list of Laurent polynomials $f_0,\ldots,f_n$. In this case, the matrices $A_0,\ldots,A_n$ are automatically determined by exponentsMatrix. If you want require that $A_0=\cdots=A_n$, then use the option Unmixed=>true (this could be faster). Below we consider some examples.

In the first example, we calculate the sparse (mixed) resultant associated to the three sets of monomials $(1,x y,x^2 y,x),(y,x^2 y^2,x^2 y,x),(1,y,x y,x)$. Then we evaluate it at the three polynomials $f = c_{(1,1)}+c_{(1,2)} x y+c_{(1,3)} x^2 y+c_{(1,4)} x, g = c_{(2,1)} y+c_{(2,2)} x^2 y^2+c_{(2,3)} x^2 y+c_{(2,4)} x, h = c_{(3,1)}+c_{(3,2)} y+c_{(3,3)} x y+c_{(3,4)} x$.

 i1 : time Res = sparseResultant(matrix{{0,1,1,2},{0,0,1,1}},matrix{{0,1,2,2},{1,0,1,2}},matrix{{0,0,1,1},{0,1,0,1}}) -- used 0.565588 seconds o1 = Res o1 : SparseResultant (sparse mixed resultant associated to {| 0 1 1 2 |, | 0 1 2 2 |, | 0 0 1 1 |}) | 0 0 1 1 | | 1 0 1 2 | | 0 1 0 1 | i2 : QQ[c_(1,1)..c_(3,4)][x,y]; i3 : (f,g,h) = (c_(1,1)+c_(1,2)*x*y+c_(1,3)*x^2*y+c_(1,4)*x, c_(2,1)*y+c_(2,2)*x^2*y^2+c_(2,3)*x^2*y+c_(2,4)*x, c_(3,1)+c_(3,2)*y+c_(3,3)*x*y+c_(3,4)*x) 2 2 2 2 o3 = (c x y + c x*y + c x + c , c x y + c x y + c x + c y, 1,3 1,2 1,4 1,1 2,2 2,3 2,4 2,1 ------------------------------------------------------------------------ c x*y + c x + c y + c ) 3,3 3,4 3,2 3,1 o3 : Sequence i4 : time Res(f,g,h) -- used 0.00884614 seconds 2 4 2 2 4 o4 = - c c c c c c c + c c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 3 2 3 c c c c c c - 2c c c c c c c c + 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 3 2 2 3 2c c c c c c c c + c c c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 4 2 3 c c c c c c c - c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 3 3 2 3 2c c c c c c c - 2c c c c c c c c - 1,1 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 3 2 2 3 c c c c c c - c c c c c c c - 1,1 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c + 2c c c c c c c - 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c - 2c c c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 3 2 2 c c c c c c c - 2c c c c c c c + 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 1,1 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 3c c c c c c c c + 2c c c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 1,1 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 2 2 c c c c c c c c c - c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 3 2 3 c c c c c c c + c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 3 3 2 2 3 c c c c c c - 2c c c c c c c - 1,1 1,3 1,4 2,3 3,1 3,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 3 2 2 2 3 c c c c c c c c - c c c c c c - 1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 1,1 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 3 3 2 3 c c c c c c c c + c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,1 3,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 2 3 c c c c c c c + c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 4 2 2 4 3 3 4 c c c c c c - 2c c c c c c + c c c c 1,1 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2 1,1 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2 1,1 1,3 2,4 3,2 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 3 - c c c c c c c + c c c c c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 3 2 3 c c c c c c c - c c c c c c + 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 3 2 3 c c c c c c - c c c c c c c c - 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 3 3 3 c c c c c c c c + c c c c c c c - 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c + 3c c c c c c c c c - 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 2 2c c c c c c c c - c c c c c c c - 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 4c c c c c c c c c + 2c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 3 2 2 c c c c c c c c + 2c c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3c c c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2c c c c c c c c c + c c c c c c c c 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 + 4c c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 4c c c c c c c c c - 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c c + 2c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 4 2 3 2 2 c c c c c c c - c c c c c c c + 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 3 2 c c c c c c c - c c c c c c c - 1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,4 2,3 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 c c c c c c c c - 3c c c c c c c c c 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 + 3c c c c c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2c c c c c c c c c - 1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 c c c c c c c c c + c c c c c c c c 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 3 2 2 + c c c c c c c c + 3c c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c c - 3c c c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 c c c c c c c c c - c c c c c c c c 1,1 1,2 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 3 3 2 2 3 + c c c c c c c - c c c c c c c - 1,1 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 2 3 c c c c c c c - c c c c c c c + 1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 3 2 3 c c c c c c + 3c c c c c c c c - 1,1 1,3 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 3 3 2 2 2 2 2c c c c c c + 2c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,4 3,2 3,3 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c + 2c c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c + c c c c c c c c c - 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,3 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 3 2 2 2c c c c c c c c + c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 3 2 2 c c c c c c + c c c c c c c - 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 c c c c c c c c + c c c c c c c c - 1,1 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c - c c c c c c c + 1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 c c c c c c c c c - c c c c c c c c 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 + 5c c c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 3 2 c c c c c c c c + c c c c c c c c - 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 c c c c c c c c c - 5c c c c c c c c 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 + c c c c c c c c + c c c c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c - 2c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c - c c c c c c c + 1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,3 1,4 2,1 2,4 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c - c c c c c c c - 1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 3 2 2 c c c c c c c + c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,3 2,4 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 3 2 2 3 c c c c c c - c c c c c c c + 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 3 c c c c c c c + c c c c c c c c - 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,3 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 3 2 2 3 2c c c c c c c c + 2c c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 3 2 3 c c c c c c c c - c c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 3 3 2 2 2 3 c c c c c c c + c c c c c c + 1,1 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 1,1 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 3 3 2 3 c c c c c c c c - c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,2 3,3 1,1 1,3 2,2 2,4 3,2 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 4 2 2 4 c c c c c c c - c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,3 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 3 2 3 c c c c c c + c c c c c c c c + 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 3 3 3 c c c c c c c - 2c c c c c c c + 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,4 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c - 2c c c c c c c c + 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 3 2 2c c c c c c c + c c c c c c - 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,1 1,4 2,2 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 2 c c c c c c c + 2c c c c c c c c - 1,1 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 c c c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 3 2 2 2c c c c c c c c - c c c c c c c - 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c - c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 c c c c c c c - 3c c c c c c c c c + 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 5c c c c c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 3 2 2c c c c c c c c + c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 4 2 2 2 2 2 2 c c c c c c + 2c c c c c c c + 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 2 c c c c c c c c - c c c c c c c - 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c + 4c c c c c c c c c + 1,1 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 2 2c c c c c c c + c c c c c c c c - 1,1 1,3 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 2c c c c c c c + 3c c c c c c c c c - 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 3c c c c c c c c c - c c c c c c c c 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 + c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 c c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 c c c c c c c c c - 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 4c c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 c c c c c c c c c + 2c c c c c c c c 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 3 3 3 - c c c c c c c - c c c c c - 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,4 1,1 1,3 2,3 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 3 2 3 c c c c c c + 4c c c c c c c c - 1,1 1,4 2,2 2,4 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 3 2 3 c c c c c c c c + c c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 3 2 3 2c c c c c c c - 3c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,4 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 3 2 3 3c c c c c c - 3c c c c c c c c - 1,1 1,3 2,2 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 1,4 2,2 2,4 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 2 2 c c c c c c c - c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,3 2,4 3,2 3,4 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c + c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 c c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 2 4c c c c c c c c c + c c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c + 5c c c c c c c c c - 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 4 2 c c c c c c c c - c c c c c c c - 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4 1,2 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 3 2 c c c c c c c c + c c c c c c c c + 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 4c c c c c c c c c - 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 4c c c c c c c c c - 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 7c c c c c c c c c c + 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 5c c c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 3c c c c c c c c + 1,1 1,4 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 4c c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 4c c c c c c c c c - c c c c c c c c 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 - 3c c c c c c c c + 1,1 1,3 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3c c c c c c c c c + 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 6c c c c c c c c c - 1,1 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 8c c c c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 c c c c c c c c c - 3c c c c c c c c 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 + c c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 c c c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 c c c c c c c c c + 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 c c c c c c c c c - c c c c c c c c 1,1 1,2 2,2 2,3 2,4 3,1 3,2 3,3 3,4 1,1 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 3 2 2 + c c c c c c c c - c c c c c c c + 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,4 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 3 2 2 2 2 2 c c c c c c + 2c c c c c c c + 1,1 1,2 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 c c c c c c c c - 1,1 1,3 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 7c c c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 c c c c c c c c + 2c c c c c c c c c 1,1 1,3 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 - 2c c c c c c c + 5c c c c c c c c - 1,1 1,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c c + c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 3 2 2 c c c c c c c + c c c c c c c - 1,1 1,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 4c c c c c c c c c + 2c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 3c c c c c c c c c - 2c c c c c c c + 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 3c c c c c c c c - c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,1 3,3 3,4 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3c c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2c c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 2c c c c c c c c - c c c c c c c c + 1,1 1,2 2,1 2,3 2,4 3,1 3,3 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 3 2 2 c c c c c c c c - c c c c c c c + 1,1 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 4 2 2 2 2 2 c c c c c c + c c c c c c c c + 1,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 2 c c c c c c c c c - c c c c c c c + 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,4 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 3c c c c c c c c c - c c c c c c c c 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 2,2 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 3 - 2c c c c c c c c + c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 3 2 3 c c c c c c - c c c c c c c c - 1,1 1,2 2,1 2,3 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,4 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 3 2 2 3 c c c c c c c c - c c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,3 2,4 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c + 2c c c c c c c - 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 4 2 2 c c c c c c c + c c c c c c + 1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,1 3,4 1,2 2,1 2,2 2,4 3,1 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 3 2 2 2 2 c c c c c c - 4c c c c c c c c + 1,3 1,4 2,1 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 3c c c c c c c c + 5c c c c c c c c - 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 3 3 2 5c c c c c c c c - 2c c c c c c + 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,2 3,4 1,1 1,4 2,2 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 c c c c c c c c - c c c c c c c c c 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 2 + 4c c c c c c c c c + c c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 1,1 1,2 2,2 2,3 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 3c c c c c c c c c - c c c c c c c c 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 3 2 2 2 - c c c c c c c + c c c c c c - 1,1 1,2 2,2 2,4 3,1 3,2 3,4 1,1 1,4 2,1 2,2 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c + c c c c c c c c - 1,1 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 3 2 2 2 c c c c c c c c + c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,4 1,1 1,4 2,2 2,3 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 3 2 2 2 2c c c c c c c - c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,2 3,4 1,1 1,2 2,2 2,3 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 2 2 2 3c c c c c c - 6c c c c c c c + 1,1 1,3 2,1 2,4 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,2 2,4 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 2 2 6c c c c c c c c c + 3c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 2,4 3,2 3,4 1,1 1,3 2,2 2,4 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 3c c c c c c c + 2c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,4 2,2 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 2,4 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 3 2 2 2 2c c c c c c c - c c c c c c - 1,1 1,2 2,2 2,3 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 2,2 2,4 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 3 2 2 2 c c c c c c c + 3c c c c c c c c c - 1,2 1,3 1,4 2,1 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c - 2c c c c c c c c - 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 2 c c c c c c c + 3c c c c c c c c - 1,2 1,4 2,1 2,3 3,1 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 2c c c c c c c c + c c c c c c c c - 1,1 1,2 2,1 2,2 2,4 3,1 3,3 3,4 1,1 1,3 1,4 2,1 2,2 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 2 c c c c c c c - 2c c c c c c c + 1,1 1,4 2,1 2,2 3,2 3,3 3,4 1,1 1,3 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 4c c c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 4c c c c c c c c - 1,1 1,3 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 4 2 2 3c c c c c c c c c - 2c c c c c c + 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 2,2 2,3 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c - 4c c c c c c c c + 1,1 1,2 2,1 2,3 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3c c c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 2 3c c c c c c c c c + c c c c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 2,2 2,4 3,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 2 2c c c c c c c c - c c c c c c c + 1,1 1,2 2,1 2,3 2,4 3,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c - 2c c c c c c c - 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,3 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 2 2 2 2 2 2c c c c c c c + c c c c c c c + 1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,4 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 3 c c c c c c c + c c c c c c c + 1,1 1,2 2,1 2,2 2,4 3,3 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 3,1 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 3 2 2 2 3 c c c c c c - c c c c c c - 1,2 1,4 2,1 2,2 3,1 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 3,1 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 3 3 2 2 2 3 c c c c c + 3c c c c c c - 1,1 1,3 2,1 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,2 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 3 3 2 3 3c c c c c c c c - 3c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 1,4 2,1 2,2 3,2 3,4 1,1 1,3 2,1 2,2 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 4 3 3 3c c c c c c c + c c c c - 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,2 3,4 1,1 2,2 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 2 3 c c c c c c c - 2c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,1 2,3 3,2 3,4 1,1 1,2 2,1 2,2 2,3 3,2 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 3 2 3 3 2c c c c c c c + c c c c c c - 1,1 1,2 2,1 2,2 2,4 3,2 3,4 1,1 1,2 1,3 2,1 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 3 2 2 3 2c c c c c c c + 2c c c c c c c + 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 3,3 3,4 1,1 1,2 1,4 2,1 2,2 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 3 3 2 3 c c c c c c + c c c c c c - 1,1 1,2 2,1 2,2 3,3 3,4 1,1 1,2 2,1 2,3 3,3 3,4 ------------------------------------------------------------------------ 3 2 4 c c c c c 1,1 1,2 2,1 2,2 3,4 o4 : QQ[c ..c ] 1,1 3,4 i5 : assert(Res(f,g,h) == sparseResultant(f,g,h))

In the second example, we calculate the sparse unmixed resultant associated to the set of monomials $(1,x,y,xy)$. Then we evaluate it at the three polynomials $f = a_0 + a_1 x + a_2 y + a_3 x y, g = b_0 + b_1 x + b_2 y + b_3 x y, h = c_0 + c_1 x + c_2 y + c_3 x y$. Moreover, we perform all the computation over $\mathbb{Z}/3331$.

 i6 : time Res = sparseResultant(matrix{{0,0,1,1},{0,1,0,1}},CoefficientRing=>ZZ/3331); -- used 0.0316844 seconds o6 : SparseResultant (sparse unmixed resultant associated to | 0 0 1 1 | over ZZ/3331) | 0 1 0 1 | i7 : ZZ/3331[a_0..a_3,b_0..b_3,c_0..c_3][x,y]; i8 : (f,g,h) = (a_0 + a_1*x + a_2*y + a_3*x*y, b_0 + b_1*x + b_2*y + b_3*x*y, c_0 + c_1*x + c_2*y + c_3*x*y) o8 = (a x*y + a x + a y + a , b x*y + b x + b y + b , c x*y + c x + c y + c ) 3 1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 o8 : Sequence i9 : time Res(f,g,h) -- used 0.00300448 seconds 2 2 2 2 2 2 2 o9 = a b b c - a a b b c - a a b b c + a a b c - a b b c c - 3 1 2 0 2 3 1 3 0 1 3 2 3 0 1 2 3 0 3 0 2 0 1 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 a a b b c c + a a b c c + a a b b c c + a b b c c - a a b b c c + 2 3 1 2 0 1 1 3 2 0 1 2 3 0 3 0 1 2 1 3 0 1 1 2 2 3 0 1 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 a a b b c c - a a b c c + a a b b c - a a b c - a b b c + 0 3 2 3 0 1 0 2 3 0 1 2 3 0 2 1 0 3 2 1 2 0 3 1 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 a a b b c - a b b c c + a a b c c - a a b b c c + a a b b c c - 0 2 2 3 1 3 0 1 0 2 2 3 1 0 2 1 3 1 2 0 2 1 3 0 3 0 2 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 a a b b c c + a a b b c c + a b b c c - a a b c c + a b c c - 1 2 1 3 0 2 0 3 1 3 0 2 1 2 3 0 2 0 1 3 0 2 3 0 1 2 ------------------------------------------------------------------------ a a b b c c - a a b b c c + 2a a b b c c + 2a a b b c c - 2 3 0 1 1 2 1 3 0 2 1 2 0 3 1 2 1 2 1 2 0 3 1 2 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2a a b b c c - a a b b c c - a a b b c c + a b c c + a a b b c - 0 3 0 3 1 2 0 2 1 3 1 2 0 1 2 3 1 2 0 3 1 2 1 3 0 1 2 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 2 2 2 a a b c - a b b c + a a b b c + a a b b c c - a b c c + 0 3 1 2 1 0 3 2 0 1 1 3 2 2 3 0 1 0 3 2 1 0 3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 a a b b c c + 2a a b b c c - 2a a b b c c - a b c c - 2a a b b c c 1 3 0 2 0 3 1 2 1 2 0 3 0 3 1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 3 0 3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 + a a b b c c + a a b b c c - a a b c c + a b b c c - a a b b c c + 0 2 1 3 0 3 0 1 2 3 0 3 2 3 0 1 3 2 0 1 1 3 1 2 0 2 1 3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 a a b b c c - a a b b c c + a a b c c + a a b b c c - a b b c c - 0 3 0 2 1 3 0 2 1 2 1 3 0 1 2 1 3 0 2 0 3 1 3 0 2 3 1 3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 a a b c c - a a b b c c + a a b b c c + a a b c c + a b b c c - 1 3 0 2 3 1 2 0 1 2 3 0 3 0 1 2 3 0 2 1 2 3 1 0 2 2 3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 2 a a b b c c + a a b b c c - a b b c c + a a b c - a a b b c - 0 1 1 2 2 3 0 1 0 3 2 3 0 1 3 2 3 1 2 0 3 0 2 0 1 3 ------------------------------------------------------------------------ 2 2 2 a a b b c + a b b c 0 1 0 2 3 0 1 2 3 ZZ o9 : ----[a ..c ] 3331 0 3 i10 : assert(Res(f,g,h) == sparseResultant(f,g,h))

In the third and last example, we compare the sparse mixed resultant and the sparse unmixed resultant of three generic polynomials of degrees 1,2,2 in two variables.

 i11 : (f,g,h) = genericLaurentPolynomials(1,2,2) 2 2 2 o11 = (a x + a x + a , b x + b x x + b x + b x + b x + b , c x + 2 1 1 2 0 5 1 4 1 2 2 2 3 1 1 2 0 5 1 ----------------------------------------------------------------------- 2 c x x + c x + c x + c x + c ) 4 1 2 2 2 3 1 1 2 0 o11 : Sequence i12 : time (MixedRes,UnmixedRes) = (sparseResultant(f,g,h),sparseResultant(f,g,h,Unmixed=>true)); -- used 1.12053 seconds i13 : quotientRemainder(UnmixedRes,MixedRes) 2 2 2 2 2 2 o13 = (b c - b b c c + b b c + b c c - 2b b c c - b b c c + b c , 0) 5 2 4 5 2 4 2 5 4 4 2 5 2 5 2 5 2 4 4 5 2 5 o13 : Sequence i14 : assert((denseResultant(2,2,2))(f,g,h) == UnmixedRes and (denseResultant(1,2,2))(f,g,h) == MixedRes)