# universalIdeal -- computes the universal realization ideal of a matroid

## Synopsis

• Usage:
U = universalIdeal M
U = universalIdeal V
• Inputs:
• M, , a matroid
• V, a list, a list of points of a representation of a matroid
• Optional inputs:
• CoefficientRing => ..., -- specifies the coefficient ring of the underlying ring of the ideal
• Vars => ..., -- specifies the variables to use to create the underlying ring of the ideal
• Outputs:
• U, an ideal, the universal realization ideal in Pluecker and slack variables

## Description

The universal realization ideal defines a variety containing points (p, S) which are pairs of a Pluecker vector and a slack matrix coming from the same realization of the matroid.

 `i1 : M = matroid({0, 1, 2, 3, 4, 5}, {{1, 2, 3}, {0, 2, 4}, {0, 3, 5}, {1, 4, 5}}, EntryMode => "nonbases");` ```i2 : U = universalIdeal M o2 = ideal (- p p + p p , - p p + p p , 1,3,5 2,4,5 1,2,5 3,4,5 1,3,4 2,4,5 1,2,4 3,4,5 ------------------------------------------------------------------------ p p + p p , p p + p p , p p + 2,3,5 0,4,5 0,2,5 3,4,5 1,3,5 0,4,5 0,1,5 3,4,5 1,2,5 0,4,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , p p - p p , p p + p p , 0,1,5 2,4,5 2,3,4 0,4,5 0,3,4 2,4,5 1,3,4 0,4,5 0,1,4 3,4,5 ------------------------------------------------------------------------ p p + p p , p p - p p , p p - 1,2,4 0,4,5 0,1,4 2,4,5 0,1,3 2,4,5 0,1,2 3,4,5 2,3,4 1,3,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , - p p + p p , - p p + 1,3,4 2,3,5 0,2,5 1,3,5 0,1,5 2,3,5 0,3,4 2,3,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , - p p + p p , p p + 0,2,3 3,4,5 0,3,4 1,3,5 0,1,3 3,4,5 0,1,4 2,3,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , - p p + p p , p p - 0,1,2 3,4,5 0,2,3 1,3,5 0,1,3 2,3,5 2,3,4 1,2,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , p p - p p , p p + p p - 1,2,4 2,3,5 1,3,4 1,2,5 1,2,4 1,3,5 0,3,4 1,2,5 0,1,4 2,3,5 ------------------------------------------------------------------------ p p + p p , p p + p p , p p + 0,1,3 2,4,5 0,1,2 3,4,5 2,3,4 0,2,5 0,2,3 2,4,5 1,3,4 0,2,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , p p + p p , p p + p p , 0,1,2 3,4,5 0,3,4 0,2,5 0,2,3 0,4,5 1,2,4 0,2,5 0,1,2 2,4,5 ------------------------------------------------------------------------ - p p + p p , p p - p p + 0,2,3 1,2,5 0,1,2 2,3,5 2,3,4 0,1,5 0,1,4 2,3,5 ------------------------------------------------------------------------ p p - p p , p p - p p , p p + 0,1,3 2,4,5 0,1,2 3,4,5 1,3,4 0,1,5 0,1,4 1,3,5 0,3,4 0,1,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , p p - p p , - p p + 0,1,3 0,4,5 1,2,4 0,1,5 0,1,4 1,2,5 0,1,4 0,2,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , - p p + p p , p p - 0,1,2 0,4,5 0,1,3 1,2,5 0,1,2 1,3,5 0,2,3 0,1,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , p p + p p , - p p + 0,1,3 0,2,5 1,2,4 0,3,4 0,1,4 2,3,4 0,2,3 1,3,4 ------------------------------------------------------------------------ p p , - p p + p p , - p p + 0,1,3 2,3,4 0,2,3 1,2,4 0,1,2 2,3,4 0,1,3 1,2,4 ------------------------------------------------------------------------ p p , p p + p p , - x p + x p , - 0,1,2 1,3,4 0,2,3 0,1,4 0,1,2 0,3,4 8 0,4,5 0 2,4,5 ------------------------------------------------------------------------ x p + x p , - x p + x p , - x p - x p , - 12 0,4,5 0 3,4,5 12 2,4,5 8 3,4,5 8 0,1,4 0 1,2,4 ------------------------------------------------------------------------ x p - x p , x p - x p , - p p - 12 0,1,4 0 1,3,4 12 1,2,4 8 1,3,4 1,2,4 0,4,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , - p p - p p , - p p + 0,1,4 2,4,5 1,3,4 0,4,5 0,1,4 3,4,5 1,3,4 2,4,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , - x p - x p , - x p - x p , x p - 1,2,4 3,4,5 8 0,1,5 0 1,2,5 12 0,1,5 0 1,3,5 12 1,2,5 ------------------------------------------------------------------------ x p , - p p - p p , - p p - p p , 8 1,3,5 1,2,5 0,4,5 0,1,5 2,4,5 1,3,5 0,4,5 0,1,5 3,4,5 ------------------------------------------------------------------------ - p p + p p , p p - p p , p p 1,3,5 2,4,5 1,2,5 3,4,5 1,2,4 0,1,5 0,1,4 1,2,5 1,3,4 0,1,5 ------------------------------------------------------------------------ - p p , - p p + p p , x p - x p , 0,1,4 1,3,5 1,3,4 1,2,5 1,2,4 1,3,5 9 0,1,5 4 0,2,5 ------------------------------------------------------------------------ x p - x p , x p - x p , x p - x p , 16 0,1,5 4 0,4,5 16 0,2,5 9 0,4,5 9 0,1,3 4 0,2,3 ------------------------------------------------------------------------ x p + x p , x p + x p , p p - p p , 16 0,1,3 4 0,3,4 16 0,2,3 9 0,3,4 0,2,3 0,1,5 0,1,3 0,2,5 ------------------------------------------------------------------------ - p p - p p , - p p - p p , - x p 0,3,4 0,1,5 0,1,3 0,4,5 0,3,4 0,2,5 0,2,3 0,4,5 9 1,3,5 ------------------------------------------------------------------------ + x p , - x p - x p , - x p - x p , p p 4 2,3,5 16 1,3,5 4 3,4,5 16 2,3,5 9 3,4,5 0,2,5 1,3,5 ------------------------------------------------------------------------ - p p , p p + p p , p p + 0,1,5 2,3,5 1,3,5 0,4,5 0,1,5 3,4,5 2,3,5 0,4,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , p p - p p , - p p + 0,2,5 3,4,5 0,2,3 1,3,5 0,1,3 2,3,5 0,3,4 1,3,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , - p p + p p , - x p + x p , - 0,1,3 3,4,5 0,3,4 2,3,5 0,2,3 3,4,5 5 0,2,5 1 1,2,5 ------------------------------------------------------------------------ x p - x p , - x p - x p , - x p - x p , - 13 0,2,5 1 2,3,5 13 1,2,5 5 2,3,5 17 0,2,5 1 2,4,5 ------------------------------------------------------------------------ x p - x p , x p - x p , - x p + x p , - 17 1,2,5 5 2,4,5 17 2,3,5 13 2,4,5 6 0,3,4 2 1,3,4 ------------------------------------------------------------------------ x p + x p , - x p + x p , - x p + x p , - 10 0,3,4 2 2,3,4 10 1,3,4 6 2,3,4 20 0,3,4 2 3,4,5 ------------------------------------------------------------------------ x p + x p , - x p + x p , x p - x p , 20 1,3,4 6 3,4,5 20 2,3,4 10 3,4,5 14 0,1,4 7 0,3,4 ------------------------------------------------------------------------ x p + x p , x p + x p , - x p - x p , - 21 0,1,4 7 0,4,5 21 0,3,4 14 0,4,5 14 1,2,4 7 2,3,4 ------------------------------------------------------------------------ x p + x p , x p + x p , p p + 21 1,2,4 7 2,4,5 21 2,3,4 14 2,4,5 1,2,4 0,3,4 ------------------------------------------------------------------------ p p , - p p - p p , p p - 0,1,4 2,3,4 1,2,4 0,4,5 0,1,4 2,4,5 2,3,4 0,4,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , x p + x p , x p + x p , - x p + 0,3,4 2,4,5 14 0,1,2 7 0,2,3 21 0,1,2 7 0,2,5 21 0,2,3 ------------------------------------------------------------------------ x p , - p p - p p , - p p + p p , 14 0,2,5 0,2,3 0,1,4 0,1,2 0,3,4 0,1,4 0,2,5 0,1,2 0,4,5 ------------------------------------------------------------------------ - p p - p p , p p - p p , p p 0,3,4 0,2,5 0,2,3 0,4,5 0,2,3 1,2,4 0,1,2 2,3,4 1,2,4 0,2,5 ------------------------------------------------------------------------ + p p , - p p - p p , - x p + x p , - 0,1,2 2,4,5 2,3,4 0,2,5 0,2,3 2,4,5 18 0,1,2 3 1,2,4 ------------------------------------------------------------------------ x p + x p , - x p + x p , - x p + x p , - 22 0,1,2 3 1,2,5 22 1,2,4 18 1,2,5 18 0,1,3 3 1,3,4 ------------------------------------------------------------------------ x p + x p , - x p + x p , - p p + 22 0,1,3 3 1,3,5 22 1,3,4 18 1,3,5 0,1,3 1,2,4 ------------------------------------------------------------------------ p p , - p p + p p , - p p + 0,1,2 1,3,4 0,1,3 1,2,5 0,1,2 1,3,5 1,3,4 1,2,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , - x p + x p , - x p + x p , - 1,2,4 1,3,5 18 0,2,3 3 2,3,4 22 0,2,3 3 2,3,5 ------------------------------------------------------------------------ x p + x p , - p p + p p , - p p + 22 2,3,4 18 2,3,5 0,2,3 1,2,4 0,1,2 2,3,4 0,2,3 1,2,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , - p p + p p , - p p + 0,1,2 2,3,5 2,3,4 1,2,5 1,2,4 2,3,5 0,2,3 1,3,4 ------------------------------------------------------------------------ p p , - p p + p p , - p p + 0,1,3 2,3,4 0,2,3 1,3,5 0,1,3 2,3,5 2,3,4 1,3,5 ------------------------------------------------------------------------ p p , - x p + x p , - x p + x p , - 1,3,4 2,3,5 15 0,1,2 11 0,1,3 19 0,1,2 11 0,1,4 ------------------------------------------------------------------------ x p + x p , - x p + x p , - x p + x p , 19 0,1,3 15 0,1,4 23 0,1,2 11 0,1,5 23 0,1,3 15 0,1,5 ------------------------------------------------------------------------ - x p + x p ) 23 0,1,4 19 0,1,5 o2 : Ideal of QQ[x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , p , p , p , p , p , p , p , p , p , p , p , p , p , p , p , p , p , p , p , p ] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 0,1,2 0,1,3 0,2,3 1,2,3 0,1,4 0,2,4 1,2,4 0,3,4 1,3,4 2,3,4 0,1,5 0,2,5 1,2,5 0,3,5 1,3,5 2,3,5 0,4,5 1,4,5 2,4,5 3,4,5```

## Caveat

A list of points representing a matroid are always assumed to be in affine space and are projectivized by appending 1 to vector of coordinates.